Rekening

De extrema van f (x) is: Max van 2 op x = 0 Min van 0 op x = 2, -2 Om de extrema van een functie te vinden, voert u het volgende uit: 1) Onderscheid de functie 2) Stel de afgeleide in gelijk aan 0 3) Oplossen voor de onbekende variabele 4) Vervang de oplossingen in f (x) (NIET de afgeleide) In uw voorbeeld van f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Onderscheid de functie: Per kettingregel **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Vereenvoudigd: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Stel de afgeleide gelijk aan 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) Omdat dit een product is, kunt u elk onderdeel gelijk aan Lees verder »

De functie heeft geen lokale extrema. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 is nooit ongedefinieerd en is 0 alleen bij x = -1. Dus het enige kritische getal is -1. Aangezien f '(x) aan beide zijden van -1 positief is, heeft f geen minimum en geen maximum bij -1. Lees verder »

(0, -1) Lokale extrema treedt op als f '(x) = 0. Zoek dus f '(x) en stel het gelijk aan 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 Er is een lokaal extremum op (0, -1). Controleer een grafiek: grafiek {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Lees verder »

Deze functie heeft geen lokale extrema. Bij een lokaal extremum moeten we f prime hebben (x) = 0 Nu, f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Laten we eens kijken of dit kan verdwijnen. Hiervoor moet de waarde van g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x gelijk zijn aan -8. Omdat g prime (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, is de extrema van g (x) op de punten waar x ^ 2 + 10x + 11 = 0, dwz bij x = -5 pm sqrt {14}. Omdat g (x) tot infty en 0 respectievelijk x tot pm infty is, is het gemakkelijk om te zien dat de minimumwaarde x = -5 + sqrt {14} is. We hebben g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56, dus de minimumwaarde van f prime (x) ~~ 6.44 - zoda Lees verder »

Parabolae hebben precies één extrema, de vertex. Het is (-4 1/2, -19 1/4). Omdat overal {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 de functie overal hol is en dit punt een minimum moet zijn. Je hebt twee wortels om de top van de parabool te vinden: één, gebruik calculus om te vinden waar het derivaat nul is; ten tweede, vermijd calculus ten koste van alles en voltooi gewoon het vierkant. We gaan calculus gebruiken voor de oefening. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, we moeten de afgeleide hiervan nemen. {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) Door de lineariteit van het derivaat hebben we {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx Lees verder »

Local Extrema: x ~~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05 Zoek de afgeleide f '(x) Set f' (x) = 0 Dit zijn uw kritieke waarden en potentiële lokale extrema. Teken een getallenlijn met deze waarden. Sluit waarden aan binnen elk interval; als f '(x)> 0, neemt de functie toe. als f '(x) <0, neemt de functie af. Wanneer de functie verandert van negatief in positief en op dat punt continu is, is er een lokaal minimum; en vice versa. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] / (3-5x) ^ 2 f '(x) = (- 10x ^ 3-x ^ 2 + 12x) Lees verder »

X = 0, -4/3 Zoek de afgeleide van f (x) = x ^ 2 (x + 2). U moet de productregel gebruiken. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Stel f '(x) in gelijk aan nul om de kritieke punten te vinden. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) heeft lokale extrema op x = 0, -4/3. OF f (x) heeft lokale extremen op de punten (0, 0) en (-4/3, 32/27). Lees verder »

De functie heeft 2 extrema: f_ {max} (- 2) = 18 en f_ {min} (2) = - 14 We hebben een functie: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Om extrema te vinden, berekenen we afgeleide f '(x) = 3x ^ 2-12 De eerste voorwaarde om extreme punten te vinden is dat dergelijke punten alleen bestaan waar f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Nu moeten we controleren of de afgeleide verandert teken op de berekende punten: grafiek {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} Uit de grafiek kunnen we zien dat f (x) een maximum heeft voor x = -2 en minimum voor x = 2. Laatste stap is om de waarden f (-2) en f (2) te ber Lees verder »

X ^ 3-3x + 6 heeft lokale extrema op x = -1 en x = 1 De lokale extrema van een functie vindt plaats op punten waar de eerste afgeleide van de functie 0 is en het teken van de eerste afgeleide verandert. Dat wil zeggen, voor x waar f '(x) = 0 en of f' (x-varepsilon) <= 0 en f '(x + varepsilon)> = 0 (lokaal minimum) of f' (x-varepsilon)> = 0 en f '(x + varepsilon) <= 0 (lokaal maximum) Om de lokale extrema te vinden, moeten we de punten vinden waar f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) dus f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + -1 Kijke Lees verder »

Maxima = 19 bij x = -1 Minimum = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Zoek eerst het kritieke punt f '(x) = 3x ^ om de lokale extrema te vinden 2-12x-15 Set f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 of x = -1 zijn kritieke punten. We moeten de tweede afgeleide test doen f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, dus f bereikt zijn minimum bij x = 5 en de minimumwaarde is f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, dus f bereikt zijn maximum bij x = -1 en de maximale waarde is f (-1) = 19 Lees verder »

De gegeven functie heeft een minima-punt, maar heeft zeker geen punt van maxima. De gegeven functie is: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) Bij diffrentiation, f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) Voor kritieke punten moeten we instellen, f '(x) = 0. impliceert (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1 ) ^ 2) = 0 impliceert x ~~ -0,440489 Dit is het punt van extrema. Om te controleren of de functie een maxima of minima bereikt bij deze specifieke waarde, kunnen we de tweede afgeleide test uitvoeren. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0.44)> 0 Omdat de tweede a Lees verder »

Het enige echte kritieke punt van deze functie is x approx -9.01844. Een lokaal minimum treedt op dit punt op. Door de Quotiëntregel is de afgeleide van deze functie f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Deze functie is gelijk aan nul als en alleen als 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. De wortels van deze kubieke bevatten onder meer een negatief irrationeel (reëel) getal en twee complexe getallen. De echte root is x approx -9.01844. Als je een kleiner nummer dan f in steekt, krijg je een negatieve output en als je een hoger nummer dan f in steekt, krijg j Lees verder »

(0.14414, 0.05271) is een lokaal maximum (1.45035, 0.00119) en (-1.59449, -1947.21451) zijn de lokale minima. . f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo Dit kwalificeert niet als een lokaal extremum. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Om de wortels van deze kubieke functie op te lossen, gebruiken we de Newton-Raphson-methode: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) Dit is een iteratief proces dat ons dichterbij en dichter bij de wortel van de functie zal brengen. Ik neem hier het l Lees verder »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) approx 0.541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Toepassing van de productregel f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx Voor lokale maxima of minima: f' (x) = 0 Laat z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 of z = -2 Vandaar voor lokaal maximum of minimum: lnx = 0 of lnx = -2: .x = 1 of x = e ^ -2 ongeveer 0.135 Bekijk nu de grafiek van x (lnx) ^ 2 hieronder. grafiek {x (lnx) ^ 2 [-2.566, 5.23, -1.028, 2.87]} We kunnen waarnemen dat versimpelde f (x) een lokaal minimum heeft bij x = 1 en een lokaal maximum bij x in (0 Lees verder »

Volgens de grafische methode is het lokale maximum bijna 1.365, bij het keerpunt (-0.555, 1.364), bijna. De curve heeft een asymptoot y = 0 larr, de x-as. De benaderingen van het keerpunt (-0.555, 1.364) werden verkregen door lijnen evenwijdig aan de assen te bewegen om elkaar op het zenit te ontmoeten. Zoals aangegeven in de grafiek, kan worden bewezen dat, als x tot -oo, y tot 0 en, als x tot oo, y tot -oo #. grafiek {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1.364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} Lees verder »

We hebben een maxima op x = 0 As f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x As f' (x) = 0 voor x = 0, vandaar dat we een lokale extrema hebben bij x = -9 / 4 Verder, f '' (x) = - 4 en dus op x = 0, hebben we een maxima op x = 0 grafiek {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Lees verder »

Er zijn geen lokale extrema. Lokale extrema kan optreden wanneer f '= 0 en wanneer f' overschakelt van positief naar negatief of omgekeerd. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 Multiplying by x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Lokale extrema kan optreden als f '= 0. Omdat we niet kunnen oplossen wanneer dit algebraïsch gebeurt, laten we de grafiek f ': f' (x): grafiek {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f 'heeft geen nullen. Dus, f heeft geen extrema. We kunnen controler Lees verder »

De lokale extrema zijn -2sqrt (6) bij x = -sqrt (3/2) en 2sqrt (6) bij x = sqrt (3/2) Lokale extrema bevinden zich op punten waar de eerste afgeleide van een functie naar 0 evalueert. Om ze te vinden, zullen we eerst de afgeleide f '(x) vinden en vervolgens oplossen voor f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Vervolgens, oplossen voor f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Dus als we de oorspronkelijke functie op die punten evalueren, krijgen we -2sqrt (6) als een lokaal maximum op x = -sqrt (3/2) en 2sqrt (6) als een lokaal mini Lees verder »

Minima f: 38.827075 op x = 4.1463151 en een andere voor een negatieve x. Ik zou hier binnenkort komen, met het andere minimum .. In feite, f (x) = (een biquadratic in x) / (x-1) ^ 2. Gebruikmakend van de methode van gedeeltelijke breuken, f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Deze vorm onthult een asymptotische parabool y = x ^ 2 + 3x +4 en een verticale asymptoot x = 1. Als x tot + -oo, f tot oo. De eerste grafiek onthult de parabolische asymptoot die laag ligt. De tweede toont de grafiek links van de verticale asymptoot, x = 1 en de derde is voor de rechterkant. Deze zijn passend geschaald om lokale minima Lees verder »

F_ (min) = f (1/4 + 2 ^ (- 03/05)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Observeer dat, f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x in RR- {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(x-1/4) +1/4} / (x-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3 / + 4 (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4. Nu, voor Local Extrema, f '(x) = 0, en, f' '(x)> of <0, "volgens als" f_ (min) of f_ (max), "resp." f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (x-1/4) = 1 / {4 (x- Lees verder »

Ik neem aan dat er een fout is of dat dit een 'trick'-vraag is. 1 ^ x = 1 voor alle x, dus ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Daarom is f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 voor alle x. f is een constante. Het minimum en maximum van f zijn beide 0. Lees verder »

Laten we eens kijken. Laat de functie y zijn. : .Y = f (x) = e ^ (x ^ 2) ^ -x 2e ^ x. Zoek nu de dy / dx en de (d ^ 2y) / dx ^ 2. Volg nu een aantal stappen in de volgende URL: rarr http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Hoop dat het helpt:) Lees verder »

Bij x = pi / 2 f '' (x) = - 1 hebben we een lokale maxima en bij x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 hebben we een lokale minima. Een maxima is een hoogtepunt waarop een functie stijgt en dan weer daalt. Als zodanig zal de helling van de tangens of de waarde van derivaat op dat punt nul zijn. Verder zullen, aangezien de raaklijnen aan de linkerkant van maxima naar boven aflopen, dan afvlakken en dan naar beneden aflopen, de helling van de raaklijn continu afnemen, d.w.z. de waarde van de tweede afgeleide zou negatief zijn. Een minima daarentegen is een dieptepunt waarnaar een functie valt en vervolgens weer stijgt. A Lees verder »

Bijna + -1.7. Zie de grafiek die deze benadering geeft. Ik zou later proberen om preciezere waarden te geven. De eerste grafiek toont de asymptoten x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Merk op dat tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) de limit + -oo, as x to 0 _ + - De tweede (niet-to-scale ad hoc) grafiek benadert lokale extremen als + -1,7. Ik zou deze later verbeteren. Er zijn geen globale extrema. grafiek {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} grafiek {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} Lees verder »

X = 1.763 Neem de afgeleide van lnx / e ^ x met behulp van de quotiëntregel: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) Uitnemen ae ^ x vanaf de bovenkant en verplaats het naar de noemer: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Zoek als f' (x) = 0 Dit gebeurt alleen als de teller is 0: 0 = (1 / x-ln (x)) Je hebt een grafische rekenmachine nodig voor deze. x = 1.763 Als u een nummer onder 1.763 invoert, krijgt u een positief resultaat, terwijl het aansluiten van een nummer boven 1.763 u een negatief resultaat zou opleveren. Dit is dus een lokaal maximum. Lees verder »

Minima (0, 0) Maxima (-4/3, 1 5/27) Given- y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 At x = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 Bij x = 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Vandaar dat de functie een minima heeft bij x = 0 Bij x = 0; y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 Minima ( 0, 0) Bij x = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 Bij x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 Vandaar dat de functie een maxima heeft op x = -4 / 3 At x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 5/27 Lees verder »

Lokaal maximum is 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 Lokaal minimum is 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 Om lokale extremen te vinden, kunnen we de eerste afgeleide test gebruiken. We weten dat bij een lokale extrema, op zijn minst de eerste afgeleide van de functie gelijk zal zijn aan nul. Laten we dus de eerste afgeleide nemen en deze gelijkstellen aan 0 en oplossen voor x. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 Deze gelijkheid kan gemakkelijk worden opgelost met de kwadratische formule. In ons geval, a = -3, b = 6 en c = 10 Kwadratische formule-toestanden: x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / ( Lees verder »

MAX (0; 0) en MIN (-10 / 3,20 / 29) We berekenen f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3 dus f '(x) = 0 als x = 0 of x = -10 / 3 we hebben verder f' '(0) = - 2/5 <0 en f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Lees verder »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) Dus de functie zal worden: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Nu f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Voor lokaal extreem punt f '(x) = 0 Dus [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Lees verder »

Relatief maximum: (-1, 6) relatief minimum: (3, -26) Gegeven: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Vind de kritische getallen door de eerste afgeleide te vinden en deze gelijk te stellen aan zero: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 Factor: (3x + 3) (x -3) = 0 Kritieke getallen: x = -1, "" x = 3 Gebruik de tweede afgeleide test om zoek uit of deze kritieke getallen relatieve maxima of relatieve minima zijn: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "relatieve max op" x = -1 f '' ( 3) = 12> 0 => "relatief min op" x = 3 f (-1) = (-1) ^ 3 - 3 (-1) ^ 2 - 9 (-1) + 1 = 6 f Lees verder »

1 + -2sqrt (3) / 3 Een polynoom is continu en heeft een continu derivaat, dus de extrema kan worden gevonden door de afgeleide functie gelijk te stellen aan nul en de resulterende vergelijking op te lossen. De afgeleide functie is 3x ^ 2-6x-1 en dit heeft wortels 1 + -sqrt (3) / 3. Lees verder »

Keerpunten (lokale extrema) treden op wanneer de afgeleide van de functie nul is, dwz wanneer f '(x) = 0. dat is wanneer 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). omdat de tweede afgeleide f '' (x) = 6x en f '' (sqrt (7/3))> 0 en f '' (- sqrt (7/3)) <0 betekent dit dat sqrt (7 / 3) is een relatief minimum en -sqrt (7/3) is een relatief maximum. De bijbehorende y-waarden kunnen worden gevonden door terug te gaan in de oorspronkelijke vergelijking. De grafiek van de functie verifieert de bovenstaande berekeningen. grafiek {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} Lees verder »

(0,15), (4, -17) Een lokaal extremum, of een relatief minimum of maximum, zal optreden wanneer de afgeleide van een functie 0 is. Dus als we f '(x) vinden, kunnen we deze gelijk stellen tot 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Stel gelijk aan 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Stel elk deel in op gelijk aan 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} De extrema treedt op bij (0,15) en (4, -17). Bekijk ze in een grafiek: grafiek {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42.66, 49.75, -21.7, 24.54]} De extrema, of veranderingen in richting, zijn op (0,15) en (4, - 17). Lees verder »

F (x) _max = (1.37, 8.71) f (x) _min = (4.63, -8.71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Voor lokale maxima of minima: f '(x) = 0 Dus: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Toepassen van de kwadratische formule: x = (18 + -sqrt (18 ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 of 4.633 Om te testen op lokaal maximum of minimum: f '' (1.367) <0 -> Lokaal maximum f '' (4.633)> 0 -> Lokaal minimum f (1.367) ~ = 8.71 Lokaal maximum f (4.633) ~ = -8.71 Lokaal minimum Deze lokale extrema is te zien in de grafiek van f (x) hieronder. grafiek { Lees verder »

F (x) heeft een lokaal maximum op ongeveer (0.1032, 15.0510) f (x) heeft een lokaal minimum op approx (3.2301, -0.2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Productregel toepassen. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) Pas power-regel toe. f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 Voor lokale extrema f '(x) = 0 Vandaar, 3x ^ 2-10x + 1 = 0 Kwadratische formule toepassen. x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 approx 3.2301 of 0.1032 f '' (x ) = 6x-10 Voor lokaal maximum f '' <0 op extreem punt. Lees verder »

X_1 = -1 is een maximum x_2 = 1 is een minimum Zoek eerst de kritieke punten door de eerste afgeleide gelijk te stellen aan nul: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 Als x! = 0 kunnen we vermenigvuldigen met x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 so x ^ 2 = 1 als de andere wortel negatief is, en x = + - 1 Dan kijken we naar het teken van de tweede afgeleide: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0 zodat: x_1 = -1 een maximum is x_2 = 1 is een minimumgrafiek {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } Lees verder »

Lokaal maximum ~~ -0.794 (bij x ~~ -0.563) en lokale minima zijn ~~ 18.185 (bij x ~~ -3.107) en ~~ -2.081 (bij x ~~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Kritieke getallen zijn oplossingen voor 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. Ik heb geen exacte oplossingen, maar het gebruik van numerieke methoden zal uitwijzen dat echte oplossingen ongeveer zijn: -3.107, - 0.563 en 0.887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Pas de tweede afgeleide test toe: f '' (- 3.107)> 0, dus f (-3.10 Lees verder »

(1, e ^ -1) We moeten de productregel gebruiken: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x Op een min / max f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 Nu, e ^ x> 0 AA x in RR:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Vandaar dat er een enkel keerpunt is bij (1 , e ^ -1) grafiek {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Lees verder »

Deze functie heeft geen lokale extrema. f (x) = xlnx-xe ^ x impliceert g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Voor x om een lokaal extremum te zijn, moet g (x) zijn nul. We zullen nu laten zien dat dit niet gebeurt voor een echte waarde van x. Merk op dat g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Aldus g ^ '(x) zal verdwijnen als e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Dit is een transcendentale vergelijking die numeriek kan worden opgelost. Omdat g ^ '(0) = + oo en g ^' (1) = 1-3e <0, ligt de wortel tussen 0 en 1. En sinds g ^ {''} (0) <0 voor alle Lees verder »

X_1 = 2.430500874043 en y_1 = -1.4602879768904 Maximumpunt x_2 = -1.0971675407097 en y_2 = -0.002674986072485 Minimumpunt Bepaal de afgeleide van f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 Neem de teller dan gelijk aan nul ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 vereenvoudig (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Factoring the common term (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 De waarden van x zijn: x = 4 een asymptoot x_1 = ( Lees verder »

Polynomen zijn overal differentieerbaar, dus zoek naar de kritische waarden door simpelweg de oplossingen te vinden voor f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 Algebra gebruiken om deze eenvoudige kwadratische vergelijking op te lossen: x = -1 en x = 1 / 2 Bepaal of deze min of max zijn door in te pluggen in de tweede afgeleide: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, dus -1 is een maximum f '' (1/2)> 0, dus 1/2 is een minimale hoop die heeft geholpen Lees verder »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Deze functie heeft een verticale asymptoot op x = 2, benadert 1 van boven als x naar + oo gaat (horizontale asymptoot) en benadert 1 van onder als x gaat naar -oo. Alle derivaten zijn ook ongedefinieerd op x = 2. Er is één lokale minima op x = 0, y = 0 (al die problemen voor de oorsprong!) Merk op dat je misschien mijn wiskunde wilt controleren, zelfs de beste van ons laat het vreemde negatieve teken vallen en dit is een lange vraag. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Deze functie heeft een verticale asymptoot op x = 2, omdat de noemer nul is als x = 2. Het benadert 1 van boven als x naar + oo Lees verder »

Bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) Dat is de tangensvector. bb r '(3) = (24, 81) De raaklijn is: bb l (lambda) = bb r (3) + lambda bb r' (3) = (39,81) + lambda (24, 81) We kan de richting vector een beetje factor: bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) Lees verder »

De limiet is 1/5. Gegeven lim_ (xto0) sinx / (5x) We weten die kleur (blauw) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Zodat we onze gegeven kunnen herschrijven als: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Lees verder »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C We krijgen: int ln (xe ^ x) / (x) dx Gebruiken ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Gebruiken van ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x ) + xln (e)) / (x) dx Gebruiken van ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Splitsing van de breuk (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx Het scheiden van de gesommeerde integralen: = int ln (x) / xdx + int dx De tweede integraal is eenvoudigweg x + C, waarbij C een willekeurige constante is. De eerste integraal, gebruiken we u-substitutie: Laat u equiv ln (x), vandaar du = 1 / x dx Gebruik u-substitutie: = int udu + Lees verder »

T = 0 en t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 De kritieke punten van een functie is waar de afgeleide van de functie nul of ongedefinieerd is. We beginnen met het vinden van het derivaat. We kunnen dit doen met behulp van de power rule: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t De functie is gedefinieerd voor alle reële getallen, dus we zullen op die manier geen kritieke punten vinden, maar we kunnen de nullen van de functie oplossen: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Gebruik van het nulfactorbeginsel , we zien dat t = 0 een oplossing is. We kunnen oplossen wanneer de kwadratische factor geli Lees verder »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Lees verder »

De reeks heeft hetzelfde gedrag als n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n wanneer n groot is. Je zou de uitdrukking net een beetje moeten manipuleren om die uitspraak hierboven duidelijk te maken. Verdeel alle termen door n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Al deze limieten bestaan wanneer n-> oo, dus we hebben: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, dus de reeks neigt naar 0 Lees verder »

X in {-3/2, 3/2} Deze vraag vraagt eigenlijk waar de raaklijnen van y = 1 / x (wat kan worden beschouwd als de helling op het raakpunt) parallel is met y = -4 / 9x + 7. Omdat twee lijnen parallel zijn als ze dezelfde helling hebben, komt dit overeen met de vraag waar y = 1 / x raaklijnen heeft met een helling van -4/9. De helling van de lijn die raakt aan y = f (x) op (x_0, f (x_0)) wordt gegeven door f '(x_0). Samen met het bovenstaande betekent dit dat ons doel is om de vergelijking f '(x) = -4/9 op te lossen waarbij f (x) = 1 / x. Als we de afgeleide nemen, hebben we f '(x) = d / dx1 / x = -1 / x ^ 2 Oploss Lees verder »

F '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sec ^ 2x g '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Lees verder »

Kleur (blauw) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Als: y = ln (x) <=> e ^ y = x Gebruik deze definitie voor de gegeven functie: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Onderscheidend impliciet: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Verdelen door: kleur (wit) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Van boven: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. dy / dx = kleur (blauw) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Lees verder »

Gottfried Wilhelm Leibniz was wiskundige en filosoof. Veel van zijn bijdragen aan de wereld van de wiskunde waren in de vorm van filosofie en logica, maar hij is veel bekender door het ontdekken van de eenheid tussen een integraal en het gebied van een grafiek. Hij was vooral gericht op het brengen van calculus in één systeem en het ontwikkelen van een notatie die ondubbelzinnig calculus zou definiëren. Hij ontdekte ook begrippen als hogere derivaten en analyseerde diepgaand de product- en ketenregels. Leibniz werkte voornamelijk met zijn eigen verzonnen notatie, zoals: y = x om een functie aan te duiden, i Lees verder »

Sir Isaac Newton stond al bekend om zijn theorieën over zwaartekracht en de beweging van planeten. Zijn ontwikkelingen in calculus moesten een manier vinden om wiskunde en de fysica van planetaire beweging en zwaartekracht te verenigen. Hij introduceerde ook de notie van de productregel, de kettingregel, Taylor-serie en derivaten hoger dan de eerste afgeleide. Newton werkte voornamelijk met functie-notatie, zoals: f (x) om een functie f '(x) aan te duiden om de afgeleide van een functie F (x) aan te geven om een antiderivatief van een functie aan te duiden. Zo ziet de productregel er bijvoorbeeld uit zoals dit: Lees verder »

In termen van het echte leven, is discontinuïteit equivalent aan het verplaatsen van het potlood wanneer je een grafiekfunctie plot. Zie hieronder Met dit idee in gedachten zijn er verschillende soorten discontinuïteit. Te vermijden discontinuïteit Oneindige jump-discontinuïteit en eindige-jump-discontinuïteit. U kunt dit type op verschillende internetpagina's zien. bijvoorbeeld, dit is een eindige sprong-discontinuïteit. Wiskunde, continuïteit is gelijk aan dat: lim_ (xtox_0) f (x) bestaat en gelijk is aan f (x_0) Lees verder »

Een functie heeft een discontinuïteit als deze niet goed gedefinieerd is voor een bepaalde waarde (of waarden); er zijn 3 soorten discontinuïteit: oneindig, wijs en spring. Veel voorkomende functies hebben een of meerdere discontinuïteiten. Bijvoorbeeld, de functie y = 1 / x is niet goed gedefinieerd voor x = 0, dus we zeggen dat het een discontinuïteit heeft voor die waarde van x. Zie onderstaande grafiek. Merk op dat daar de curve niet kruist bij x = 0. Met andere woorden, de functie y = 1 / x heeft geen y-waarde voor x = 0. Op een vergelijkbare manier heeft de periodieke functie y = tanx discontinu&# Lees verder »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Sinds de noemer is al in rekening gebracht, alles wat we moeten doen is gedeeltelijke breuken oplossen voor de constanten: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Merk op dat we zowel een x als een constante term op de meest linkse breuk nodig hebben omdat de teller altijd 1 graad lager is dan de noemer. We zouden kunnen vermenigvuldigen met de noemer aan de linkerkant, maar dat zou een enorme hoeveelheid werk zijn, dus we kunnen in plaats daarvan slim zijn en de cover-up-me Lees verder »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Ons grootste probleem in deze integraal is de wortel, dus we willen er vanaf. We kunnen dit doen door een substitutie u = sqrt (2x-1) te introduceren. Het afgeleide is dan (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Dus we verdelen door (en onthouden, delen door een reciproque is hetzelfde als vermenigvuldigen met alleen de noemer) om te integreren met betrekking tot u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nu hoeven we alleen de x ^ 2 in termen van u uit te drukken (omdat Lees verder »

C = 2/3 Voor f (x) moet continu zijn op x = 2, het volgende moet waar zijn: lim_ (x-> 2) f (x) bestaat. f (2) bestaat (dit is hier geen probleem omdat f (x) duidelijk is gedefinieerd bij x = 2 Laten we het eerste postulaat onderzoeken. We weten dat een limiet moet bestaan, de limieten voor de linkerhand en de rechterhand moeten gelijk zijn. Wiskundig: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) Dit laat ook zien waarom we alleen geïnteresseerd zijn in x = 2: het is de enige waarde van x voor waarbij deze functie wordt gedefinieerd als verschillende dingen aan de rechterkant en aan de linkerkant, wat betek Lees verder »

4pi ^ 2ab Wordt ds = ad theta het lengte-element in de cirkel met straal a, met de verticale as als rotatiecentrum en de oorsprong van de cirkel op een afstand b van de rotatieas, hebben we S = int_ {0} ^ {2pi } 2 pi (b + a cos theta) ad theta = 4pi ^ 2ab Lees verder »

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Maak een onderscheid tussen beide zijden. Via de Tweede Fundamental Stelling van Calculus aan de linkerkant en de product- en kettingregels aan de rechterkant, zien we dat differentiatie laat zien dat: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) Laat x = 2 toont dat f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Integreer de innerlijke term. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Evalueer. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) Laten x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) Lees verder »

(C) Merk op dat een functie f differentieerbaar is op een punt x_0 als lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L de gegeven informatie effectief is dat f differentieerbaar is op 2 en dat f '(2) = 5. Nu, kijkend naar de uitspraken: I: Ware Differentiatie van een functie op een moment impliceert zijn continuïteit op dat moment. II: Waar De gegeven informatie komt overeen met de definitie van differentiatie op x = 2. III: False De afgeleide van een functie is niet noodzakelijk continu, een klassiek voorbeeld is g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) als x! = 0), (0 als x = 0):}, die is differentieerbaar op 0, maar waarvan d Lees verder »

Y = -48x - 79 De lijn die de grafiek raakt y = f (x) op een punt (x_0, f (x_0)) is de lijn met de helling f '(x_0) en loopt door (x_0, f (x_0)) . In dit geval krijgen we (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). We hoeven dus alleen f '(x_0) als de helling te berekenen en die vervolgens in de punt-hellingvergelijking van een lijn te pluggen. Het berekenen van de afgeleide van f (x), we krijgen f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 Dus, de raaklijn heeft een helling van -48 en loopt door (-2, 17). Dus, de vergelijking is y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 Lees verder »

F (x) = x We zoeken een functie f: RR rarr RR zodanig dat oplossing f (x) = f ^ (- 1) (x) Dat wil zeggen dat we een functie zoeken die zijn eigen inverse is. Een voor de hand liggende functie is de triviale oplossing: f (x) = x Een meer grondige analyse van het probleem is echter van grote complexiteit zoals onderzocht door Ng Wee Leng en Ho Foo Him zoals gepubliceerd in het Journal of the Association of Teachers of Mathematics . http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Lees verder »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( cancel (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((cancel (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "Vul nu x = a: in" = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "We kunnen ook de l 'Hôpital-regel gebruiken:" "Afgeleide teller en noemer opbrengsten:" "(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "Vul nu in x = a:" "= 3 / (4a) Lees verder »

We beginnen met differentiëren, met behulp van de productregel en de kettingregel. Laat y = u ^ (1/2) en u = x. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) en u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Nu, volgens de productregel; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) De mate van verandering bij elk gegeven punt van de functie wordt gegeven door x = a te evalueren in de afgeleide. De vraag zegt dat de snelheid van verandering bij x = 3 tweemaal zo snel is als bij x = c. Onze eerste opdracht is om de veranderingssnelheid te vinden op x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)) De veranderingssnelheid bij x = Lees verder »

-1.11164 "Dit is de integraal van een rationale functie." "De standaardprocedure splitst zich in gedeeltelijke breuken." "Eerst zoeken we naar de nullen van de noemer:" x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1 of 4 "Dus we splitsten in gedeeltelijke breuken:" (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "Dus we hebben" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x | Lees verder »

Raaklijnen zijn 25x-9y + 54 = 0 en y = x + 6 Laat de helling van de raaklijn m zijn. De vergelijking van tangens is dan y-6 = mx of y = mx + 6 Laten we nu het snijpunt van deze tangens en gegeven curve y = (x + 2) / (x + 3) zien. Voor dit zetten van y = mx + 6 in dit krijgen we mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) of (mx + 6) (x + 3) = x + 2 ie mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 of mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Dit zou twee waarden van x moeten geven, dwz twee snijpunten, maar raaklijn snijdt de curve slechts op één punt. Dus als y = mx + 6 een raaklijn is, zouden we slechts één wortel voor de kwadratische vergelijkin Lees verder »

Het heeft alleen kritieke punten voor k> 0 Laten we eerst de eerste afgeleide van h (x) berekenen. h ^ (prime) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Nu, om x_0 een kritisch punt van h te laten zijn, moet het de voorwaarde h ^ (prime) (x_0) = 0, of: h ^ (prime) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Nu is de natuurlijke logaritme van k alleen gedefinieerd voor k> 0, dus h (x) heeft alleen kritieke punten voor waarden van k> 0. Lees verder »

Laten we de lengte van de N- en S-zijden x (voet) noemen en de andere twee zullen we y (ook in voeten) noemen. Dan zijn de kosten van het hek: 2 * x * $ 10 voor N + S en 2 * y * $ 15 voor E + W Dan is de vergelijking voor de totale kosten van het hek: 20x + 30y = 480 We scheiden de y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Gebied: A = x * y, ter vervanging van de y in de vergelijking die we krijgen: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Om het maximum te bepalen, moeten we deze functie differentiëren en vervolgens de afgeleide instellen op 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Wat lost voor x = 12 Vervangen in de eerder Lees verder »

Dy / dx = (3 sec ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) De kettingregel: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g '(x) Maak eerst een onderscheid tussen de externe functie, laat de binnenkant alleen en vermenigvuldig deze met de afgeleide van de interne functie. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1 ) ^ (1/2) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x- 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 sec ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Lees verder »

1 f (n) = n ^ (1 / n) impliceert log (f (n)) = 1 / n log n Nu lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 Sinds log x is een continue functie, we hebben log (lim_ {n to oo} f (n)) = lim_ {n to oo} log (f (n)) = 0 impliceert lim_ {n to oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Lees verder »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 we zoeken: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x) ) Wanneer we een limiet evalueren, kijken we naar het gedrag van de functie "near" the point, niet noodzakelijkerwijs het gedrag van de functie "at" het punt in kwestie, dus als x rarr 0, we moeten op geen enkel moment overwegen wat gebeurt op x = 0, dus we krijgen het triviale resultaat: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 Voor de duidelijkheid een grafiek van de functie om het gedrag rond x = 0 grafiek {sin (1 / x) / sin (1 / x) [-10, 10, -5, 5] te visualisere Lees verder »

De limiet bestaat niet. Als x 1 nadert, neemt het argument, pi / (x-1) oneindig vaak waarden pi / 2 + 2pik en (3pi) / 2 + 2pik aan. Dus sin (pi / (x-1)) neemt waarden -1 en 1 aan, oneindig vaak. De waarde kan niet één enkel beperkingsnummer benaderen. grafiek {sin (pi / (x-1)) [-1.796, 8.07, -1.994, 2.94]} Lees verder »

"Zie uitleg" "Pas de definitie toe van | x |:" f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "Nu afleiden:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "Dus we zien dat er een discontinuïteit is in x = 0 voor f' (x)." "Voor de rest is het overal differentieerbaar." Lees verder »

Telescopische reeks 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Dit is een samenvouwende (telescoperende) reeks. De eerste term is -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Lees verder »

De tweede afgeleide test houdt in dat het kritieke aantal (punt) x = 4/7 een lokaal minimum aangeeft voor het zeggen van niets over de aard van f op de kritische getallen (punten) x = 0,1. Als f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, dan zegt de productregel f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) Dit gelijk aan nul instellen en oplossen voor x houdt in dat f kritische getallen (punten) heeft bij x = 0,4 / 7,1. Het gebruik van de productregel geeft opnieuw: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ Lees verder »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Laat: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Indien onduidelijk wat betreft het effect, dan is de beste optie om een paar termen van de sommatie uit te vouwen: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} = {0a_0x ^ (1 ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Dan kunnen we de reeks terugzetten in "sigma" -notatie: S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) Lees verder »

V = 8pi volume-eenheden In wezen is het probleem dat je hebt: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Denk eraan, het volume van een solid wordt gegeven door: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Zo, onze oorspronkelijke Intergral komt overeen: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Wat op zijn beurt gelijk is aan: V = pi [x ^ 2 / (2)] tussen x = 0 als onze onderlimiet en x = 4 als onze bovenlimiet. Gebruikmakend van de fundamentele stelling van Calculus vervangen we onze limieten in onze geïntegreerde uitdrukking door de onderlimiet af te trekken van de bovenlimiet. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi volume-eenheden Lees verder »

Met een limiet kunnen we de neiging van een functie rond een bepaald punt onderzoeken, zelfs als de functie op dat moment niet is gedefinieerd. Laten we eens kijken naar de onderstaande functie. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Omdat de noemer nul is wanneer x = 1, is f (1) niet gedefinieerd; de limiet op x = 1 bestaat echter en geeft aan dat de functiewaarde daar de 2 nadert. lim_ {x naar 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x naar 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x naar 1 } (x + 1) = 2 Dit hulpmiddel is erg handig bij het berekenen wanneer de helling van een raaklijn wordt benaderd door de hellingen van secanslijnen met nabije snijpu Lees verder »

Color (blue) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) We moeten dit impliciet differentiëren, omdat we geen functie hebben in termen van één variabele. Wanneer we differentiëren, gebruiken we de ketenregel: d / dy * dy / dx = d / dx Als voorbeeld als we hadden: y ^ 2 Dit zou zijn: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx In dit voorbeeld moeten we ook de productregel gebruiken op de term xy ^ 2 Schrijven sqrt (y) als y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Onderscheidend: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 Factor uit dy / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1 Lees verder »

V = 685 / 32pi kubieke eenheden Maak eerst de grafieken. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-intercept y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 En we hebben dat {(x = 0), (x = 1):} Dus intercepts zijn (0,0) en (1,0) Haal de vertex: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Zo vertex is op (1/2, -1 / 4) Herhaal vorige: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 En we hebben dat {(x = sqrt (3) ), (x = -sqrt (3)):} Dus intercepts zijn (sqrt (3), 0) en (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Zo vertex is op (0,3) Resultaat: Hoe het volume te krijgen? We zullen de schijfmethode gebruiken! Deze methode is eenvoudig dat: Lees verder »

124.5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [(2x (4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] met bovengrens x = 4 en onderlimiet x = 1 Pas uw limieten toe in de geïntegreerde expressie, dwz trek uw onderlimiet af van uw bovengrens. = (128-16-16) - ((1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Lees verder »

Het punt van verbuiging zijn: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Eerst moeten we de tweede afgeleide van onze functie vinden. 2 - Ten tweede, stellen we dat derivaat ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) gelijk aan nul y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Volgende, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Nu, we zullen dat uitdrukken in de vorm Rcos (x + lamda) Waar lambda slechts een scherpe hoek is en R een positief geheel getal dat moet worden bepaald. Zoals dit sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda Door de coëffic Lees verder »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Om dit probleem logisch te maken 4-9x ^ 2> = 0, dus -2/3 <= x <= 2/3. Daarom kunnen we een 0 <= u <= pi kiezen, zodanig dat x = 2 / 3cosu. Als we dit gebruiken, kunnen we de variabele x in de integraal substitueren met behulp van dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu hier gebruiken we die 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u en die voor 0 <= u <= pi sinu> = 0. Nu gebruiken we integratie door delen om intomas te vinden ^ 2udu = intcosudsinu Lees verder »

We moeten eerst de expressie manipuleren om het in een handigere vorm te plaatsen Laten we aan de expressie werken (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Nu limieten nemen wanneer h-> 0 we hebben: lim_ (h-> 0 ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Lees verder »

1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) 1) / (tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C We beginnen met een u-substitutie met u = sqrt (tanx) De afgeleide van u is: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) dus we delen door dat te integreren met betrekking tot u (en onthoud, delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) ) / sec ^ 2x du = = int 2 / sec ^ 2x du Omdat we x's niet kunnen integreren met betrekking tot u, gebruiken we de volgende identiteit: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 Dit geeft Lees verder »

De eenvoudigste manier om een dubbele integraal te bedenken is als het volume onder een oppervlak in de driedimensionale ruimte. Dit is analoog aan het denken aan een normale integraal als zijnde het gebied onder een curve. Als z = f (x, y), dan int_y int_x (z) is dx dy het volume onder die punten, z, voor de domeinen gespecificeerd door y en x. Lees verder »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) In dit geval: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Lees verder »

Stap één is om de functie te herschrijven als een rationele exponent f (x) = sin (x) ^ {1/2} Nadat je je expressie in die vorm hebt, kun je het onderscheiden met behulp van de kettingregel: in jouw geval: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Dan, 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) die jouw antwoord Lees verder »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Ik ga ervan uit dat je (dy) / (dx) wilt vinden. Hiervoor hebben we eerst een uitdrukking voor y nodig in termen van x. We merken op dat dit probleem verschillende oplossingen heeft, omdat tan (x) een periodieke functie is, tan (x-y) = x meerdere oplossingen zal hebben. Omdat we echter de periode van de tangensfunctie (pi) kennen, kunnen we het volgende doen: xy = tan ^ (- 1) x + npi, waarbij tan ^ (- 1) de inverse functie is van de tangens die waarden geven tussen -pi / 2 en pi / 2 en de factor npi is toegevoegd om rekening te houden met de periodiciteit van de tangens. Dit geeft ons y = x Lees verder »

Y = -2x + pi / 2 Om de vergelijking van de raaklijn met de curve y = cos (2x) bij x = pi / 4 te vinden, begin je met de afgeleide van y (gebruik de kettingregel). y '= - 2sin (2x) Plaats nu je waarde voor x in y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 Dit is de helling van de raaklijn bij x = pi / 4. Om de vergelijking van de raaklijn te vinden, hebben we een waarde voor y nodig. Steek simpelweg uw x-waarde in de oorspronkelijke vergelijking voor y. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Gebruik nu een punthellingsvorm om de vergelijking van de raaklijn te vinden: y-y_0 = m (x-x_0) waarbij y_0 = 0, m = -2 en x_0 = pi / 4. Dit geeft ons: y Lees verder »

Het definitieve integraal over interval [a, b] van f is in eerste instantie gedefinieerd voor een functie f die [a, b] in zijn domein omvat. Dat wil zeggen: we beginnen met een functie f die is gedefinieerd voor alle x in [a, b] Onjuiste integralen breiden de begindefinitie uit door toe te staan dat a, of b, of beide zich buiten het domein van f (maar aan de 'rand' bevinden dus we kunnen limieten zoeken) of voor het interval om linker en / of rechter eindpunten (oneindige intervallen) te missen. Voorbeelden: int_0 ^ 1 lnx dx color (white) "sssssssssss" integrand niet gedefinieerd op 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ Lees verder »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Ik verwijs naar http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, waar we hebben gevonden dat gegeven x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (ik heb y voor jou gemak vervangen door jou). Dit betekent dat als we je vervangen door -y, we dat voor x = tan (x + y) vinden; - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), dus (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Lees verder »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C We hebben int root3x / (root3x-1) dx Vervang u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Resubstitute u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (abs (root3x-1)) + C Lees verder »

Dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Voor een bepaalde functie y = f (x) = uv waarbij u en v beide functies zijn van x die we krijgen: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Lees verder »

Wanneer cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 We krijgen f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Kritieke punten treden op wanneer (delf (x, y)) / (delx) = 0 en (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) -sec ^ 2 (y)) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) - (1 + 2 ^ tan (y))) = cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) Er is geen echte manier om oplossingen te vinden, maar kritische punten doen zich voor als cos (xy) + e Lees verder »

F (x) = lnx + 1 We splitsen de ongelijkheid in twee delen: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Laten we eens kijken (1) : We herschikken om f (x)> = lnx + 1 te krijgen Laten we kijken naar (2): We nemen aan y = x / e en x = ye. We voldoen nog steeds aan de voorwaarde y in (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx dus f (y) = f (x). Uit de 2 resultaten, f (x) = lnx + 1 Lees verder »

Machtsregel: als f (x) = x ^ n dan f '(x) = nx ^ (n-1) Som-regel: als f (x) = g (x) + h (x) dan f' (x) = g '(x) + h' (x) Productregel: als f (x) = g (x) h (x) dan f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Quotiëntregel: als f (x) = g (x) / (h (x)) dan is f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Kettingregel: als f (x) = h (g (x)) dan f '(x) = h' (g (x)) g '(x) Of: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Voor meer informatie: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Lees verder »

E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3 + 3x ^ 2 / 3x ^ 4. .. Het geval van een taylor-serie uitgebreid rond 0 wordt een Maclaurin-serie genoemd. De algemene formule voor een Maclaurin-serie is: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n Om een reeks uit te werken voor onze functie kunnen we beginnen met een functie voor e ^ x en gebruik dat om een formule uit te vinden voor e ^ (- 2x). Om de Maclaurin-reeks te construeren, moeten we de n-de afgeleide van e ^ x achterhalen. Als we een paar afgeleiden nemen, kunnen we vrij snel een patroon zien: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f&# Lees verder »

Het draagvermogen van een soort is de maximale populatie van die soort die de omgeving voor onbepaalde tijd kan behouden, gegeven de beschikbare hulpbronnen. Het fungeert als een bovengrens voor functies voor populatiegroei. In een grafiek, ervan uitgaande dat de populatiegroeifunctie wordt weergegeven met de onafhankelijke variabele (meestal t in geval van populatiegroei) op de horizontale as en de afhankelijke variabele (de populatie, in dit geval f (x)) op de verticale as , het draagvermogen zal een horizontale asymptoot zijn. In de normale gang van zaken zal de bevolking, behoudens extreme omstandigheden, de draagkrac Lees verder »