Wat zijn de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Antwoord:

Parabolae hebben precies één extrema, de vertex.

Het is #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Sinds # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # overal is de functie overal concaaf en dit punt moet een minimum zijn.

Uitleg:

Je hebt twee wortels om de top van de parabool te vinden: één, gebruik calculus om te vinden waar het derivaat nul is; ten tweede, vermijd calculus ten koste van alles en voltooi gewoon het vierkant. We gaan calculus gebruiken voor de oefening.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, we moeten de afgeleide hiervan nemen.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Door de lineariteit van de afgeleide die we hebben

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Met behulp van de machtsregel, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # wij hebben

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

We stellen dit gelijk aan nul om de kritieke punten te vinden, de lokale en globale minima en maxima en soms buigpunten hebben derivaten van nul.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

dus we hebben één kritiek punt op # X = -9/2 # of #-4 1/2#.

Om de y-coördinaat te vinden van het kritieke punt dat we invoegen # X = -9/2 # terug in de functie, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Het kritieke punt / vertex is #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Dat weten we omdat #A> 0 #, dit is een maximum.

Om formeel te vinden of het een maxima of minima is, moeten we de tweede afgeleide test doen.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

De tweede afgeleide is 2 voor alle waarden van x. Dit betekent dat het overal groter is dan nul, en dat de functie overal concaaf is (het is een parabool met #A> 0 # immers), dus de extrema moet een minimum zijn, de vertex.