Int_2 ^ 3 (2x + 1) / (x ^ 3 - 5x ^ 2 + 4x) dx?

Antwoord:

#-1.11164#

Uitleg:

# "Dit is de integraal van een rationale functie." #

# "De standaardprocedure splitst zich in gedeeltelijke breuken." #

# "Eerst zoeken we naar de nullen van de noemer:" #

# x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 #

# => x (x - 1) (x - 4) = 0 #

# => x = 0, 1 of 4 #

# "Dus we splitsten in gedeeltelijke breuken:" #

# (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) #

# => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) #

# => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2, 4A = 1 #

# => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 #

#"Dus we hebben"#

# (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) #

# = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C #

# "Nu evalueren we tussen 2 en 3:" #

# = (1/4) ln (3) - ln (2) + annuleer ((3/4) ln (1)) - (1/4) ln (2) + annuleer (ln (1)) - (3 / 4) ln (2) #

# = (1/4) ln (3) - 2 ln (2) #

#= -1.11164#

Wat zijn alle waarden voor k waarvoor int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Zie hieronder. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) en k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) maar k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) en k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) so k ^ 6 -2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) of {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} dan eindelijk echte waarden k = {-2,2} complexe waarden k = {-1 pm i sqrt3,1pm i sqrt3}

Hoe dat op te lossen? Int_2 ^ 85-xdx =?

= 9 int_2 ^ 8 | 5-x | dx = int_2 ^ 5 (5-x) dx + int_5 ^ 8 (x-5) dx = [5x - x ^ 2/2 + C1] _2 ^ 5 + [x ^ 2/2 - 5x + C2] _5 ^ 8 = 12.5 + C1 - 8 - C1 - 8 + C2 + 12.5 - C2 = 9 "In de eerste stap passen we alleen de definitie toe van | ... |:" | x | = {(-x, "," x <= 0), (x, "," x> = 0):} "So" | 5 - x | = {(x - 5, "," 5-x <= 0), (5 - x, "," 5-x> = 0):} = {(x - 5, "," x> = 5) , (5 - x, "," x <= 5):} "Dus het limietgeval x = 5 splitst het integratie-interval omhoog in twee" "delen: [2, 5] en [5, 8]."