Rekening

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Eerst vervangen we: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Voer een tweede substitutie: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Splitsen met behulp van gedeeltelijke breuken: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nu Lees verder »

In het leerboek gebruik ik (Stewart Calculus) kritisch punt van f = kritisch getal voor f = waarde van x (de onafhankelijke variabele) dat is 1) in het domein van f, waarbij f 'ofwel 0 is of niet bestaat. (Waarden van x die voldoen aan de voorwaarden van Fermat's stelling.) Een buigpunt voor f is een punt in de grafiek (heeft zowel x- als y-coördinaten) waarop de concaviteit verandert. (Andere mensen lijken andere terminologie te gebruiken, ik weet niet of ze fout of gewoon andere terminologie aten. Maar de tekstboeken die ik sinds begin jaren 80 in de VS heb gebruikt, hebben allemaal deze definitie gebruikt.) Lees verder »

Ik zou zeggen dat een functie discontinu is bij a als deze continu is in de buurt van een (in een open interval met a), maar niet bij een. Maar er zijn andere definities in gebruik. Functie f is continu op nummer a als en alleen als: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Dit vereist dat: 1 "" f (a) moet bestaan. (a staat in het domein van f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) moet bestaan 3 De getallen in 1 en 2 moeten gelijk zijn. In de meest algemene zin: als f niet continu is bij a, dan is f discontinu bij a. Sommigen zullen dan zeggen dat f discontinu is bij a als f niet continu is bij Anderen gebruiken "disconti Lees verder »

Pi / 4 De booglengte van f (x), x in [ab] wordt gegeven door: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Omdat we net y = 0 hebben, kunnen we gewoon de lengte van s rechte lijn nemen tussen 0 tot pi / 4 wat pi / 4- is 0 = pi / 4 Lees verder »

Het is (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Methode f (x) = sin ^ 7 (x) Het is erg handig om dit opnieuw te schrijven als f (x) = (sin (x)) ^ 7 omdat dit duidelijk maakt dat wat we hebben een 7 ^ (de) machtsfunctie is. Gebruik de powerregel en de kettingregel (deze combinatie wordt vaak de gegeneraliseerde machtsregel genoemd.) Voor f (x) = (g (x)) ^ n is de afgeleide f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), in andere notatie d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) In beide gevallen, voor uw vraag f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Je zou kunnen schrijven f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) Bij x = - pi / 3 hebben Lees verder »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 We weten dat int1 / xdx = lnx + C, dus: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Daarom f ( x) = ln (x + 3) + C. We krijgen de beginvoorwaarde f (2) = 1. Door noodzakelijke substituties te maken, hebben we: f (x) = ln ((x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C We kunnen nu f (x) herschrijven als f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, en dat is ons laatste antwoord. Als u wilt, kunt u de volgende natuurlijke log-eigenschap gebruiken om het te vereenvoudigen: lna-lnb = ln (a / b) Als u dit op ln (x + 3) -ln5 toepast, krijgen we ln ((x + 3) / 5) , dus we kunnen ons antwoord verder uitdrukken als f (x) = Lees verder »

Ln (x / 2) +1> De afgeleide van lnx = 1 / x vandaar dat het anti-afgeleide van 1 / x "is" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Om f te vinden, gebruikt u f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 met • lnx-lny = ln (x / y) "om te vereenvoudigen" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Lees verder »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Integratie van f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 maakt de constante van integratie mogelijk ( c) te vinden door te evalueren voor x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Lees verder »

Ik vond: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 We lossen de onbepaalde integraal op: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c en dan gebruiken we onze voorwaarde om c te vinden: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c so: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 en eindelijk: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3 x + 13/3 Lees verder »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing in 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Aangezien f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3 x + 7 Lees verder »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 we gebruiken integratie door delen f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx in dit geval u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Lees verder »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Gebruik u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Putting u = sqrt (1 + x ^ 2) geeft terug: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) 1)) + 1 / 2ln (abs ( Lees verder »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0.0.0768 ^ c) Voor een gegeven set coördinaten (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13.0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0.0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0.0768 ^ c) Lees verder »

Dit kan niet zonder context worden beantwoord. Hier zijn enkele van de toepassingen in de wiskunde. Een set heeft oneindige kardinaliteit als deze één-op-één kan worden toegewezen aan een juiste subset van zichzelf. Dit is niet het gebruik van oneindig in calculus. In Calculus gebruiken we "oneindig" op drie manieren. Intervalnotatie: De symbolen oo (respectievelijk -oo) worden gebruikt om aan te geven dat een interval geen recht (respectievelijk links) eindpunt heeft. Het interval (2, oo) is hetzelfde als de set x Oneindige limieten Als een limiet niet bestaat omdat x nadert naar a, stijgen d Lees verder »

Onmiddellijke snelheid is de snelheid waarmee een object op precies het moment dat wordt gespecificeerd reist. Als ik precies 10 m / sec reis richting het noorden, draai dan naar het westen en rijd exact 5 m / s af voor nog eens tien seconden, mijn gemiddelde snelheid is ongeveer 5,59 m / s in een (ongeveer) noord-tegen-noordwesten richting. Mijn momentane snelheid is echter mijn snelheid op een gegeven moment: op precies vijf seconden na mijn trip, is mijn ogenblikkelijke snelheid 10m / s ten noorden; precies na vijftien seconden is hij 5 m / s westwaarts. Lees verder »

Laten we het interval [a, b] verdelen in n subintervallen van gelijke lengte. [a, b] tot {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, waarbij a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. We kunnen de definitieve integraal int_a ^ bf (x) dx berekenen door Trapezoïde Regel T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Lees verder »

De regel van L'hopital wordt voornamelijk gebruikt voor het vinden van de limiet als x-> a van een functie van de vorm f (x) / g (x), wanneer de limieten van f en g bij a zodanig zijn dat f (a) / g (a) resulteert in een onbepaalde vorm, zoals 0/0 of oo / oo. In dergelijke gevallen kan men de limiet van de derivaten van die functies nemen als x-> a. Dus zou men lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) berekenen, wat gelijk zal zijn aan de limiet van de initiële functie. Als een voorbeeld van een functie waar dit nuttig kan zijn, overweeg dan de functie sin (x) / x. In dit geval is f (x) = sin (x), g (x) = Lees verder »

L'Hopital's Rule If {(lim_ {x to a} f (x) = 0 en lim_ {x to a} g (x) = 0), (of), (lim_ {x to a} f (x) = pm infty en lim_ {x naar a} g (x) = pm infty):} then lim_ {x to a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x to a} {f '( x)} / {g (x)}. Voorbeeld 1 (0/0) lim_ {x tot 0} {sinx} / x = lim_ {x tot 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Voorbeeld 2 (infty / infty) lim_ {x to infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Ik hoop dat dit nuttig was. Lees verder »

X = -4 en -8/5 Een verticale asymptoot is dus een lijn die zich verticaal tot oneindig uitstrekt. Als we het opmerken, impliceert dit dat de y-coördinaat van de curve de oneindigheid veel bereikt. We weten dat oneindig = 1/0 Dus vergeleken met f (x) betekent dit dat de noemer van f (x) nul moet zijn. Vandaar dat (5x + 8) (x + 4) = 0 Dit is een kwadratische vergelijking waarvan de wortels -4 en -8/5 zijn. Daarom hebben we bij x = -4, -8/5 verticale asymptoten Lees verder »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Het afgeleide van sec (x) is sec (x) tan (x). Maar aangezien de hoek 5x is en niet alleen x, gebruiken we de kettingregel. Dus we vermenigvuldigen ons opnieuw met de afgeleide van 5x wat 5 is. Dit geeft ons ons laatste antwoord als sec (5x) tan (5x) * 5 Hoop dat het hielp! Lees verder »

Als u de Leibniz-notatie prefereert, wordt de tweede afgeleide aangeduid (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Voorbeeld: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Als u van de prime-notatie houdt, wordt de tweede afgeleide aangeduid met twee prime-tekens, in tegenstelling tot de eerste markering met de eerste derivaten: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Evenzo, als de functie in functie notatie is: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Meest mensen zijn bekend met beide notaties, dus het maakt meestal niet uit welke notatie je kiest, zolang mensen maar begrijpen wat je schrijft. Ik geef zelf de voorkeur aan de Leibni Lees verder »

Een rationale functie is waar er x's onder de breukbalk staan. Het deel onder de balk wordt de noemer genoemd. Dit stelt limieten aan het domein van x, omdat de noemer misschien niet 0 is. Eenvoudig voorbeeld: y = 1 / x domein: x! = 0 Dit definieert ook de verticale asymptoot x = 0, omdat je x zo dicht kunt maken als dichtbij naar 0 zoals je wilt, maar bereik het nooit. Het maakt een verschil of je naar de 0 beweegt vanaf de positieve kant of vanaf de negatieve kant (zie grafiek). We zeggen lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo en lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Er is dus een discontinuïteitgrafiek {1 / x [-16.02, 16.01, -8.01, Lees verder »

F '(x) = 72x-18 In het algemeen stelt de productregel dat als f (x) = g (x) h (x) met g (x) en h (x) sommige functies van x, dan f' ( x) = g (x) h (x) + g (x) h (x). In dit geval g (x) = 6x-4 en h (x) = 6x + 1, dus g '(x) = 6 en h' (x) = 6. Daarom is f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. We kunnen dit controleren door eerst het product van g en h uit te werken en vervolgens te differentiëren. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, dus f '(x) = 72x-18. Lees verder »

De absolute extrema van een functie in een gesloten interval [a, b] kan een lokale extrema in dat interval zijn, of de punten waarvan ascissae a of b zijn. Laten we dus de lokale extrema vinden: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 als -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Dus onze functie neemt af in [-2, -1) en in (1,2] en deze groeit in (-1,1), en dus is het punt A (-1-1) een lokaal minimum en het punt B (1,1) is een lokaal maximum. Laten we nu de ordinaat van de punten op de extrema van het interval vinden: y (-2) = - 4 / 5r Lees verder »

Minimum punt op (1 / e, -1 / e) de gegeven f (x) = x * ln x verkrijg de eerste afgeleide f '(x) en stel vervolgens gelijk aan nul. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Oplossen voor f (x) bij x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e dus het punt (1 / e , -1 / e) bevindt zich op het 4e kwadrant wat een minimum punt is. Lees verder »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Laten we het herschrijven als: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] Nu moeten we afleiden van de buitenkant naar de binnenkant met behulp van de kettingregel. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Hier kregen we een afgeleide van een product 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Alleen algebra gebruiken om een vereenvoudigde versie te krijgen: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] En we krijgen de oplossing: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Overigens kun je zelf Lees verder »

De afstandsfunctie is: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Laten we dit manipuleren. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Omdat het antiderivaat in feite een onbepaalde integraal, dit wordt een oneindige som van oneindig kleine dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx wat toevallig de formule is voor de booglengte van elke functie die je hanteerbaar kunt integreren na de manipulatie. Lees verder »

Ik vind het eenvoudiger om te denken dat dit eerst naar de afgeleide kijkt. Ik bedoel: wat zou, na gedifferentieerd te zijn, resulteren in een constante? Natuurlijk, een eerste graad variabele. Als uw differentiatie bijvoorbeeld resulteert in f '(x) = 5, is het duidelijk dat het antiderivatief F (x) = 5x is. Dus het antiderivaat van een constante is het keer de variabele in kwestie (of het nu x, y, enz. Is .) We zouden het op deze manier kunnen plaatsen, wiskundig: intcdx <=> cx Merk op dat c mutiplying 1 is in de integraal: intcolor (groen) (1) * cdx <=> cx Dat betekent dat de eerste-graadvariabele wordt g Lees verder »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) eenheden. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arlongth wordt gegeven door: L = int_-pi ^ prtqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Simplify: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Uit symmetrie: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta De substitutie toepassen theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Dit is een bekende integraal: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Keer de substitutie om: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Voeg de grenzen van i Lees verder »

Ca. 27.879 Dit is een schetsmethode. De sleur van een deel van het werk is gedaan door de computer. Booglengte s = int punt s dt en punt s = sqrt (vec v * vec v) Nu, voor vec r = 4 theta hat r vec v = punt r hoed r + r punt theta hoed theta = 4 punt theta hoed r + 4 theta punt theta hat theta = 4 punts theta (hoed r + theta hat theta) Dus punt s = 4 punt theta sqrt (1 + theta ^ 2) booglengte s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) punt theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) computeroplossing. Zie Youtube hier gelinkt Lees verder »

Booglengte ~~ -2.42533 (5dp) De booglengte is negatief omdat de ondergrens 1 groter is dan de bovengrens van ln2 We hebben een parametrische vectorfunctie, gegeven door: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Om de booglengte te berekenen, hebben we het vectorderivaat nodig, dat we kunnen berekenen aan de hand van de productregel: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Vervolgens berekenen we de grootte van de afgeleide vector: Lees verder »

Sqrt (3) We zoeken de booglengte van de vectorfunctie: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> voor t in [1,2] Wat we gemakkelijk kunnen evalueren met behulp van: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Dus we berekenen het derivaat, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Zo krijgen we de booglengte: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Dit triviale resultaat zou geen verrassing moeten zijn, omdat de gegeven originele vergelijking die van een rechte Lees verder »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Om dit volume te berekenen zullen we het in zekere zin in (oneindig dunne) plakjes snijden. We stellen ons de regio voor, om ons hierbij te helpen, heb ik de grafiek ingesloten waar de regio het deel onder de curve is. We merken op dat y = x ^ 2-1 de lijn x = 5 kruist, waarbij y = 24 en dat het de lijn y = 0 kruist, waarbij x = 1 grafiek {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Bij het snijden van dit gebied in horizontale plakken met hoogte dy (een zeer kleine hoogte). De lengte van deze segmenten is sterk afhankelijk van de y-coördinaat. om deze lengte te berekenen, moeten we Lees verder »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Vermenigvuldig kubuswortel van t tussen haakjes, we krijgen y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Dit geeft ons y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Bij differentiatie krijgen we dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Welke geeft, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Lees verder »

98 De gemiddelde waarde van f op [a, b] is 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Voor dit probleem is dat 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Lees verder »

De gemiddelde waarde is 4948/5 = 989.6 De gemiddelde waarde van f op interval [a, b] is 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Dus we krijgen: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989.6 Lees verder »

1 / 2sin (2), ongeveer 0.4546487 De gemiddelde waarde c van een functie f op het interval [a, b] wordt gegeven door: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Dit vertaalt zich hier in het gemiddelde waarde van: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Laten we de substitutie gebruiken u = x / 2. Dit betekent dat du = 1 / 2dx. We kunnen dan de integraal als zodanig herschrijven: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Splitsing 1 / 4 in 1/2 * 1/2 staat toe dat 1 / 2dx aanwezig is in de integraal, zodat we de substitutie gemakkelijk kunnen maken 1 / 2dx = du. We moeten ook de grenz Lees verder »

De gemiddelde waarde is 16/3 De gemiddelde waarde van een functie f op een interval [a, b] is 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Dus de gezochte waarde is 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Lees verder »

Het is (4 (sqrt2-1)) / pi De gemiddelde waarde van een functie f op een interval [a, b] is 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Dus de waarde die we zoeken is 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sec (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Lees verder »

De gemiddelde waarde van f op [a, b} is 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Voor deze functie in dit interval krijg ik -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Lees verder »

Zie hieronder. De gemiddelde waarde is 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi heeft GEEN rationale noemer. Lees verder »

Neem de integrale int_1 ^ ooxe ^ -xdx, die eindig is, en merk op dat het sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) begrenst. Daarom is het convergent, dus sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) is eveneens. De formele verklaring van de integrale test stelt dat als fin [0, oo) rightarrowRR een monotoon afnemende functie is die niet-negatief is. Dan is de som sum_ (n = 0) ^ oof (n) convergent als en alleen als "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx eindig is. (Tau, Terence, analyse I, tweede druk, boekagentschap van Hindustan, 2009). Deze uitspraak lijkt misschien een beetje technisch, maar het idee is het volgende. Als we in dit geval de Lees verder »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 De definitie van een afgeleide van een functie f (x) op een punt c kan worden geschreven: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h In ons geval kunnen we zien dat we (3 + h) ^ 3 hebben, dus we kunnen raden dat de functie x ^ 3 is en dat c = 3. We kunnen deze hypothese verifiëren als we 27 als 3 ^ 3 schrijven: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h We zien dat als c = 3, we zouden krijgen: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h En we kunnen zien dat de functie rechtvaardig is een waarde in beide gevallen, dus de functie moet f (x) = x ^ 3 zijn: lim_ (h-> Lees verder »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 We weten: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Dit betekent dat we de limiet als volgt kunnen herschrijven: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Overwegen van de definitie van een afgeleide van een functie f (x) op een punt c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Een redelijke schatting is dat c = pi / 6, en als we deze gebruiken, kunnen we zien dat de invoer van de cosinusfunctie overeenkomt met de invoer van f (x) in de definitie: lim_ (h- > 0) (cos (kleur (rood) (c + h)) - cos (kleur (rood) (c))) / h Dit betekent dat als c = pi / 6, dan f (x) = cos (x ). Lees verder »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C We kunnen de breuk eerst in twee delen: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x We kunnen nu de volgende identiteit gebruiken: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x We weten dat de afgeleide van cot (x) -csc ^ 2 (x) is, dus we kunnen een minteken zowel buiten als binnen de integraal toevoegen (dus annuleren) om het uit te werken: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Lees verder »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 We kennen de definitie voor sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Omdat we de Maclaurin-serie kennen voor e ^ x, kunnen we deze gebruiken om maak er een voor sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... We kunnen de serie voor e ^ vinden - x door x te vervangen door -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... We kunnen deze twee van elkaar aftrekken om de teller van de sinh-definitie te vinden: kleur (wit) (- e ^ -x.) e ^ x = kleur (wit) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / ( Lees verder »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] kleur (wit) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] kleur (wit) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) kleur (wit) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) kleur (wit) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Lees verder »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) U moet de kettingregel gebruiken. Herinner dat de formule hiervoor is: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Het idee is dat je eerst de afgeleide van de buitenste functie neemt, en dan gewoon je werk doet weg naar binnen. Voordat we beginnen, laten we al onze functies in deze uitdrukking identificeren. We hebben: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) is de buitenste functie, dus we beginnen met het afgeleide daarvan. Dus: dy / dx = kleur (blauw) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Let op hoe we dat nog steeds behouden ((3x) / 4) daarbinnen. Onthoud dat je bij h Lees verder »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C We beginnen met een u-substitutie met u = ln (x). We delen dan door de afgeleide van u om te integreren met betrekking tot u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Nu moeten we oplossen voor x in termen van u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Je zou kunnen raden dat dit geen elementaire anti-afgeleide heeft, en je hebt gelijk. We kunnen echter het formulier gebruiken voor de denkbeeldige foutfunctie erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Om onze integraal in dit formulier t Lees verder »

Zie hieronder. Gezien abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n maar sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 en d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 dan sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Lees verder »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C We beginnen met het introduceren van een u-substitutie met u = 1 + cosh (x). De afgeleide van u is dan sinh (x), dus we verdelen door sinh (x) om te integreren met betrekking tot u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int cancel (sinh (x)) / (annuleer (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Deze integraal is de gemeenschappelijke integraal: int 1 / t dt = ln | t | + C Dit maakt ons integraal: ln | u | + C We kunnen opnieuw substitueren om te krijgen: ln (1 + cosh (x)) + C, wat ons laatste antwoord is. We verwijderen de absolute waarde van de logaritme omdat we zien dat cos Lees verder »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(Faulhaber's formule)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Lees verder »

Zie hieronder. Helaas zal de functie binnen de integraal niet integreren met iets dat niet kan worden uitgedrukt in termen van elementaire functies. U zult hiervoor numerieke methoden moeten gebruiken. Ik kan je laten zien hoe je een reeksuitbreiding gebruikt om een geschatte waarde te krijgen. Begin met de geometrische reeks: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n for rlt1 Nu integreren met betrekking tot r en gebruik de limieten 0 en x om dit te krijgen: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integratie van de linkerkant: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1-r)] _ 0 Lees verder »

Kettingregel: f '(g (x)) * g' (x) Bij differentiaalrekening gebruiken we de kettingregel als we een samengestelde functie hebben. Het stelt: Het derivaat zal gelijk zijn aan de afgeleide van de externe functie met betrekking tot de binnenkant, keer de afgeleide van de interne functie. Laten we eens kijken wat dat als wiskundig ziet: Kettingregel: f '(g (x)) * g' (x) Laten we zeggen dat we de samengestelde functie sin (5x) hebben. We weten: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Dus de afgeleide is gelijk aan cos (5x) * 5 = 5cos (5x ) We moeten gewoon onze twee functies vinden, Lees verder »

We weten dat een functie kan worden benaderd met deze formule f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) waarbij de R_n (x) de rest is. En het werkt als f (x) n keer af te leiden is in x_0. Stel nu dat n = 4, anders is het te ingewikkeld om de derivaten te berekenen. Laten we voor elke k = 0 tot 4 berekenen zonder de rest te beschouwen. Als k = 0 wordt de formule: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 En we zien dat e ^ (2/0) niet-gedifferentieerd is, dus de functie kan niet benaderd in x_0 = 0 Lees verder »

Hier is een benadering ... Laten we eens kijken ... Een lineair is in de vorm f (x) = mx + b, waarbij m de helling is, x de variabele en b het y-snijpunt. (U wist dat!) We kunnen de concaafheid van een functie vinden door de dubbele afgeleide ervan (f '' (x)) te vinden en waar deze gelijk is aan nul. Laten we het dan doen! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Dit vertelt ons dus dat lineaire functies op elk gegeven punt moeten buigen. Wetende dat de grafiek van lineaire functies een rechte lijn is, is dit niet logisch, nietw Lees verder »

Dus ik moet ook ketenregel gebruiken op (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) ondertiteling in de productregel. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Lees verder »

. Ik denk dat het niet gestandaardiseerd is. Als student aan een universiteit in de VS in 1975 gebruiken we Calculus van Earl Swokowski (eerste editie). Zijn definitie is: Een punt P (c, f (c)) in de grafiek van een functie f is een buigpunt als er een open interval (a, b) bestaat dat c bevat, zodat de volgende relaties gelden: (i) kleur (wit) (') "" f' '(x)> 0 als a <x <c en f' '(x) <0 als c <x <b; of (ii) "" f '' (x) <0 als a <x <c en f '' (x)> 0 als c <x <b. (pag. 146) In een leerboek dat ik gebruik om les te geven, denk ik dat S Lees verder »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Lees verder »

Dit is de exponentiële functie van basis b (waarbij b> 0 moet worden aangenomen). Het kan worden opgevat als b ^ x = e ^ (xln (b)), dus met behulp van de kettingregel (zie kettingregel) en het feit dat (e ^ x) '= e ^ x (zie Exponentials with Base e) opbrengsten (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) maal ln (b) = b ^ x maal ln (b) (zie Exponentiële functies). Lees verder »

Het afgeleide van 10x ten opzichte van x is 10. Laat y = 10x Onderscheid y ten opzichte van x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Het derivaat van 10x ten opzichte van x is 10. Lees verder »

Er is een regel voor het differentiëren van deze functies (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Merk op dat voor ons probleem a = 10 en u = x dus laten we aansluiten op wat we weten. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) als u = x dan, (du) / (dx) = 1 vanwege de kracht regel: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) dus, terug naar ons probleem, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1) wat vereenvoudigt tot (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Dit zou hetzelfde werken als je iets gecompliceerder dan x was. Veel calculus gaat over het vermogen om het gegeven probleem te relateren aan Lees verder »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Gebruikmakend van de volgende standaard regels van differentiatie: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) We krijgen het volgende resultaat: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (ix)) * ln2 cospix * * (pi) Lees verder »

(d (2pir)) / (dr) kleur (wit) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) door de constante regel voor afgeleide kleuren (wit) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ De constante regel voor afgeleide producten vertelt ons x) = c * g (x) voor wat constante c dan f '(x) = c * g' (x) In dit geval f (r) = 2pir; c = 2pi, en g (r) = r Lees verder »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Gegeven, -4 / x ^ 2 Herschrijf de uitdrukking met (dy) / (dx) -notatie. d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Splits de breuk op. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Gebruik de vermenigvuldiging met een constante regel, (c * f) '= c * f', haal de -4 eruit. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Herschrijf 1 / x ^ 2 met behulp van exponenten. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Met behulp van de power rule, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), wordt de expressie, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Eenvoudiger. = Kleur (groen) (| bar (ul (kleur (wit) (a / a) kleur (zwart) (8x ^ -3) kleur (wit) (a / a) |))) Lees verder »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Ik vind het het gemakkelijkst om te denken in termen van de exponentvorm en gebruik de machtsregel: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) als volgt: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Lees verder »

-5 nu is de machtigingsregel voor differentiatie: d / (dx) (ax ^ n) = angst ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) met behulp van de power rule = -5x ^ 0 = -5 als we de definitie (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f gebruiken (x)) / h we hebben (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / u (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / u (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 zoals eerder Lees verder »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx functie voor absolute waarden zoals y = | x-2 | kan als volgt worden geschreven: y = sqrt ((x-2) ^ 2) differentiatie toepassen: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) regel van rarrpower vereenvoudigen, y '= (x-2) / | x-2 | waar x! = 2 dus in het algemeen zal d / dxu = u / | u | * (du) / dx dit voor de zekerheid dubbel controleren. Lees verder »

Ik neem aan dat je het hebt over de gelijkzijdige hyperbool, omdat het de enige hyperbool is die kan worden uitgedrukt als echte functie van één reële variabele. De functie wordt gedefinieerd door f (x) = 1 / x. Per definitie, voor alle x in (-infty, 0) beker (0, + infty) is de afgeleide: f '(x) = lim_ {h to 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h tot 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h tot 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h tot 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h tot 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Dit kan ook worden verkregen door de volgende afleidingsregel voor alle letters 1: (x Lees verder »

5 Niet helemaal zeker van uw notatie hier. Ik interpreteer dit als: f (x) = 5x afgeleide: d / dx 5x = 5 Dit wordt verkregen met behulp van de machtsregel: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Van voorbeeld: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Lees verder »

Een kantcommentaar om mee te beginnen: de notatie cos ^ -1 voor de inverse cosinusfunctie (explicieter is de inverse functie van de beperking van cosinus tot [0, pi]) wijdverspreid maar misleidend. Inderdaad, de standaardconventie voor exponenten bij het gebruik van trigefuncties (bijvoorbeeld cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 suggereert dat cos ^ (- 1) x is (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Natuurlijk is het dat niet, maar de notatie is erg misleidend.De alternatieve (en veelgebruikte) notatie arccos x is veel beter. Nu voor de afgeleide. Dit is een composiet, dus we zullen de kettingregel gebruiken. zal (x ^ 3) '= 3x ^ 2 en (arc Lees verder »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Quotiëntregel gebruiken, dat is y = f (x) / g (x), dan y '= (f' (x) g (x) -f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Dit toepassen voor gegeven probleem, dat is f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, waarbij -1 Lees verder »

Door impliciete differentiatie, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Laten we enkele details bekijken. Door f (x) te vervangen door y, y = cot ^ {- 1} x door te herschrijven in termen van cotangens, Rightarrow coty = x door impliciet te differentiëren met betrekking tot x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 door te delen door -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} door de trig-identiteit csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Vandaar dat f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Lees verder »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Proces: 1.) y = "arccsc" (x) Eerst zullen we de vergelijking herschrijven in een vorm die gemakkelijker is om mee te werken. Neem de cosecant van beide kanten: 2.) csc y = x Herschrijven in termen van sinus: 3.) 1 / siny = x Oplossen voor y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Nu zou het nemen van de afgeleide eenvoudiger moeten zijn. Het is nu gewoon een kwestie van kettingregel. We weten dat d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (er is een bewijs van deze identiteit hier te vinden) Neem dus de afgeleide van de externe functie en vermenigvuldig Lees verder »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Uitleg: f (x) = e ^ (4x) log (1-x) Converteren van basis 10 tot ef (x) = e ^ (4x) ln (1-x) / ln10 Productregel gebruiken, die y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Evenzo volgend op het gegeven probleem, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1- x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Lees verder »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) is slechts een constante en kan worden genegeerd. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Lees verder »

In f (x) = ln (cos (x)) hebben we een functie van een functie (het is geen vermenigvuldiging, alleen maar zeggen), dus we moeten de kettingregel voor afgeleiden gebruiken: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Voor dit probleem, met f (x) = ln (x) en g (x) = cos (x), hebben we f '(x) = 1 / x en g '(x) = - sin (x), dan pluggen we g (x) in de formule voor f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x). Dit is het waard om te onthouden voor later als je meer leert over integralen! Vertel ze dansmath jouw vraag beantwo Lees verder »

Eerst herschrijven we de functie in termen van natuurlijke logaritmen, met behulp van de change-of-base regel: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Differentiëren vereist het gebruik van de kettingregel: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Dat weten we sinds de afgeleide van ln x ten opzichte van x is 1 / x, dan is de afgeleide van ln (e ^ x + 3) ten opzichte van e ^ x + 3 1 / (e ^ x + 3). We weten ook dat de afgeleide van e ^ x + 3 met betrekking tot x eenvoudigweg e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Vereenvoudiging van de opbrengsten: d / dx f (x) = (e Lees verder »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) oplossing Laten we y = ln (f (x)) Onderscheidend ten opzichte van x met behulp van kettingregel, krijgen we, y' = 1 / f (x) * f '(x) Op dezelfde manier volgend voor de gegeven probleemopbrengsten, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Lees verder »

Een kantcommentaar om mee te beginnen: de notatie sin ^ -1 voor de inverse sinusfunctie (meer expliciet is de inverse functie van de beperking van sinus tot [-pi / 2, pi / 2]) wijdverspreid maar misleidend. Inderdaad, de standaardconventie voor exponenten bij gebruik van trig functies (bijvoorbeeld sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 suggereert dat sin ^ (- 1) x is (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x). Natuurlijk is het dat niet, maar de notatie is erg misleidend.De alternatieve (en veelgebruikte) notatie ArcSin x is veel beter. Nu voor het derivaat. Dit is een composiet, dus we zullen de kettingregel gebruiken. zal (lnx) '= 1 / x (zie Lees verder »

F '(x) = 2 (cosec2x) Oplossing f (x) = ln (tan (x)) laten we beginnen met een algemeen voorbeeld, stel dat we y = f (g (x)) hebben en dan, met behulp van kettingregel, y' = f '(g (x)) * g' (x) Evenzo na het gegeven probleem, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) voor verder vereenvoudigen, we vermenigvuldigen en delen door 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Lees verder »

Methode 1: We zullen beginnen met het gebruik van de change-of-base regel om f (x) equivalent te herschrijven als: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 We weten dat d / dx [lnx] = 1 / x . (als deze identiteit onbekend lijkt, bekijk dan enkele van de video's op deze pagina voor verdere uitleg) Dus, we zullen de kettingregel toepassen: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] De afgeleide van ln x / 6 is 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Vereenvoudigen geeft ons: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Methode 2: Het eerste ding om op te merken is dat alleen d / dx ln (x) = 1 / x waar ln = log_e. M Lees verder »

Ik neem aan dat je in logboek een logaritme hebt bedoeld met basis 10. Dit mag sowieso geen probleem zijn, omdat de logica ook op andere bases van toepassing is. Eerst zullen we de change-of-base regel toepassen: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) We kunnen 1 / ln10 beschouwen als slechts een constante, dus neem de afgeleide van de teller en pas de kettingregel toe: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Vereenvoudig een bit: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Daar is onze afgeleide. Houd er rekening mee dat het gebruik van afgeleiden van logaritmen zonder basis e slechts een kwestie is van het geb Lees verder »

Het derivaat is f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Dit is een voorbeeld van de Quotient Rule: Quotient Rule. De quotiëntregel geeft aan dat de afgeleide van een functie f (x) = (u (x)) / (v (x)) is: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Kort gezegd: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, waarbij u en v functies zijn (met name de teller en noemer van de oorspronkelijke functie f (x)). Voor dit specifieke voorbeeld zouden we u = logx en v = x laten. Daarom is u '= 1 / x en v' = 1. Wanneer we deze resultaten in de quotiëntregel substitueren, vinden we: f '(x) = (x xx 1 / x-logx x Lees verder »

Op basis van Quotiëntregel, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Dit probleem kan ook worden opgelost met de productregel y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) De originele functie kan ook worden herschreven met behulp van negatieve exponenten. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Lees verder »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Proces: Eerst maken we de vergelijking een beetje gemakkelijker om mee om te gaan. Neem de secant van beide zijden: y = sec ^ -1 x sec y = x Volgende, herschrijf in termen van cos: 1 / cos y = x En los op voor y: 1 = xcosy 1 / x = cosy y = arccos (1 / x) Dit ziet er nu veel gemakkelijker uit om te differentiëren. We weten dat d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) zodat we zowel deze identiteit als de kettingregel kunnen gebruiken: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Een beetje vereenvoudiging: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x Lees verder »

De meeste mensen onthouden deze f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} als een van afgeleide formules; U kunt het echter afleiden door impliciete differentiatie. Laten we de afgeleide afleiden. Laat y = zonde ^ {- 1} x. Door herschrijven in termen van sine, siny = x Door impliciet te differentiëren ten opzichte van x, cosy cdot {dy} / {dx} = 1 Door te delen door cosy, {dy} / {dx} = 1 / cosy By cosy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} By siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Lees verder »

De afgeleide voor dit voorbeeld heeft betrekking op de kettingregel en de machtsregel. Converteer de vierkantswortel naar een exponent. Pas vervolgens de krachtregel en de kettingregel toe. Vereenvoudig en verwijder vervolgens de negatieve exponenten. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Lees verder »

Ik meen me te herinneren dat mijn professor vergeet hoe hij dit moet afleiden. Dit is wat ik hem liet zien: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Since tany = x / 1 and sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => kleur (blauw) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Ik denk dat hij oorspronkelijk van plan was om dit te doen: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Lees verder »

F '(x) = 3x ^ 2-6x We hebben de somregel nodig (u + v + w)' = u '+ v' + w 'en die (x ^ n)' = nx ^ (n-1) dus we krijgen f '(x) = 3x ^ 2-6x Lees verder »

Wanneer u een exponentiële onderscheid maakt met een andere base dan e, gebruikt u de regel change-of-base om deze te converteren naar natuurlijke logaritmen: f (x) = x * lnx / ln5 Nu, differentiëren en de productregel toepassen: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] We weten dat de afgeleide van ln x 1 / x is. Als we 1 / ln5 als een constante behandelen, dan kunnen we de bovenstaande vergelijking reduceren tot: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Vereenvoudigende opbrengsten: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Lees verder »

De functie f (x) = x * ln (x) heeft de vorm f (x) = g (x) * h (x), waardoor deze geschikt is voor het gebruik van de productregel. Productregel zegt dat om de afgeleide van een functie te vinden die een product is van twee of meer functies de volgende formule gebruiken: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In In ons geval kunnen we de volgende waarden gebruiken voor elke functie: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Wanneer we elk van deze vervangen in de productregel, we krijgen het uiteindelijke antwoord: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Lees hier meer over de productregel Lees verder »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). We zullen het gebruik van twee regels vereisen: de productregel en de kettingregel. De productregel stelt dat: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. De kettingregel stelt dat: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, waarbij u een functie van x is en y een functie van u is. Daarom, (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Om de afgeleide van sqrt te vinden (1-x ^ 2) , gebruik de kettingregel, met u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Vervangen van dit resultaat in Lees verder »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Om de afgeleide van g (x) te vinden, moet je elke term in de som g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Het is gemakkelijker om de Krachtregel op de tweede term te zien door deze te herschrijven als g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Ten slotte kun je deze nieuwe tweede term als een breuk herschrijven: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Lees verder »

Je kunt i behandelen als een constante zoals C. Dus de afgeleide van i zou 0. zijn. Echter, als het gaat om complexe getallen, moeten we voorzichtig zijn met wat we kunnen zeggen over functies, afgeleiden en integralen. Neem een functie f (z), waarbij z een complex getal is (dat wil zeggen, f heeft een complex domein). Vervolgens wordt de afgeleide van f op dezelfde manier gedefinieerd als het echte geval: f ^ prime (z) = lim_ (h tot 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) waarbij h nu is een complex getal. Aangezien complexe getallen beschouwd kunnen worden als liggend in een vlak, het complexe vlak genoemd, hebben we dat het result Lees verder »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. U gebruikt de kettingregel: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). In jouw geval: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) en g (x) = 2x. Omdat f '(x) = 1 / x en g' (x) = 2, hebben we: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / X. Lees verder »

Gezien de functie (lineair): y = mx + b waarbij m en b reële getallen zijn, is de afgeleide, y ', van deze functie (ten opzichte van x): y' = m Deze functie, y = mx + b, staat voor, grafisch, een rechte lijn en het getal m staat voor de HELLING van de lijn (of als u de helling van de lijn wilt). Zoals je kunt zien is het afleiden van de lineaire functie y = mx + b geeft je m, de helling van de lijn wat een behoorlijk achterhaalbaar resultaat is, veel gebruikt in Calculus! Als voorbeeld kun je de functie beschouwen: y = 4x + 5 kun je elke factor afleiden: afgeleide van 4x is 4 afgeleide van 5 is 0 en voeg ze da Lees verder »

De afgeleide van pi * r ^ 2 (aangenomen dat dit ten opzichte van r is) is kleur (wit) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = kleur (rood) (2pir). Over het algemeen is de kracht regel voor het differentiëren van een functie van de algemene vorm f (x) = c * x ^ a waar c een constante is (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) In dit geval kleur (wit) ("XXX") de constante (c) is pi kleur (wit) ("XXX") de exponent (a) is 2 kleuren (wit) ("XXX") en we gebruiken r als onze variabele, in plaats van x Dus kleur (wit) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) kleur (wit) ("XXXXX Lees verder »

Pi / 3 We zullen de regel gebruiken: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Met andere woorden, het derivaat van 5x is 5, het derivaat van -99x is -99 en het derivaat van 5 / 7x is 5/7. De gegeven functie (pix) / 3 is hetzelfde: het is de constante pi / 3 vermenigvuldigd met de variabele x. Dus d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Lees verder »

2 * cos (2x) Ik zou de kettingregel gebruiken: Eerst ontleen je zonde en vervolgens het argument 2x om te krijgen: cos (2x) * 2 Lees verder »