Wat zijn de lokale extremen van f (x) = sinx op [0,2pi]?

Antwoord:

Op # X = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # we hebben een lokale maxima en op # X = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # we hebben een lokale minima.

Uitleg:

Een maxima is een hoogtepunt waarop een functie stijgt en dan weer daalt. Als zodanig zal de helling van de tangens of de waarde van derivaat op dat punt nul zijn.

Verder zullen, aangezien de raaklijnen aan de linkerkant van maxima naar boven aflopen, dan afvlakken en dan naar beneden aflopen, de helling van de raaklijn continu afnemen, d.w.z. de waarde van de tweede afgeleide zou negatief zijn.

Een minima daarentegen is een dieptepunt waarnaar een functie valt en vervolgens weer stijgt. Als zodanig zal de tangens of de waarde van afgeleide bij minima ook nul zijn.

Maar aangezien de raaklijnen aan de linkerkant van minima naar beneden afhellen, dan afvlakken en dan naar boven aflopen, zal de helling van de raaklijn voortdurend toenemen of de waarde van de tweede afgeleide positief zijn.

Deze maxima en minima kunnen echter ofwel universeel zijn, d.w.z. maxima of minima voor het gehele bereik of kunnen gelokaliseerd zijn, d.w.z. maxima of minima in een beperkt bereik.

Laten we dit zien aan de hand van de functie die wordt beschreven in de vraag en laten we hiervoor eerst differentiëren #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # en verder # 0,2pi # het is #0# op # X = pi / 2 # en # X = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # en terwijl op # X = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # wat betekent dat we een lokale maxima hebben, op # X = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # wat betekent dat we een lokale minima hebben.

grafiek {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}