Laat f een continue functie zijn: a) Zoek f (4) als _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx voor alle x. b) Zoek f (4) als _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx voor alle x?

Antwoord:

een) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

Uitleg:

een) Onderscheid beide kanten.

Via de Tweede Fundamental Stelling van Calculus aan de linkerkant en de product- en kettingregels aan de rechterkant, zien we dat differentiatie laat zien dat:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

Letting # X = 2 # laat zien dat

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Integreer de innerlijke term.

# Int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = x sin (pix) #

# T ^ 03/03 _0 ^ f (x) = x sin (pix) #

Evalueren.

# (F (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = x sin (pix) #

# (F (x)) ^ 3/3 = x sin (pix) #

# (F (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Laat # X = 4 #.

# (F (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (F (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #