Antwoord:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Uitleg:
Om dit probleem te begrijpen # 4-9x ^ 2> = 0 #, dus # -2/3 <= x <= 2/3 #. Daarom kunnen we kiezen voor een # 0 <u <= pi # zoals dat # X = 2 / 3cosu #. Hiermee kunnen we de variabele x in de integraal gebruiken # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # hier gebruiken we dat # 1-cos ^ 2u 2u = sin ^ # en dat voor # 0 <u <= pi # #sinu> = 0 #.
Nu gebruiken we integratie door delen om te vinden # Intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin 2u ^ = + sinucosu intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. daarom # Intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Dus we hebben gevonden #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, nu vervangen we #X# terug voor # U #, gebruik makend van # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, dus #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
We kunnen dit verder vereenvoudigen door de definitie van sinussen en cosinussen in termen van driehoeken te gebruiken. Voor een rechthoekige driehoek met een hoek # U # in een van de niet-juiste hoeken, # sinu = "andere kant" / "langste zijde" #, terwijl # cosu = "aangrenzende zijde" / "langste zijde" #, omdat we weten # Cosu = (3x) / 2 #, we kunnen de aangrenzende kant uitkiezen om te zijn # 3x # en de langste kant om te zijn #2#. Met de stelling van Pythagoras vinden we de andere kant #sqrt (4-9x ^ 2) #, dus #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. daarom #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
