Vraag # f3eb0

Antwoord:

#c = 2/3 #

Uitleg:

Voor #f (x) # continu bezig zijn met #x = 2 #, het volgende moet waar zijn:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # bestaat.
• #f (2) # bestaat (dit is sindsdien geen probleem meer #f (x) # is duidelijk gedefinieerd op #x = 2 #

Laten we het eerste postulaat onderzoeken. We weten dat een limiet bestaat, de linker- en rechterhandlimieten moeten gelijk zijn. wiskundig:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Dit toont ook waarom we alleen geïnteresseerd zijn in #x = 2 #: Het is de enige waarde van #X# waarvoor deze functie wordt gedefinieerd als verschillende dingen aan de rechterkant en aan de linkerkant, wat betekent dat er een kans is dat de linker- en rechterlimieten mogelijk niet gelijk zijn.

We zullen proberen waarden van 'c' te vinden waarvoor deze limieten gelijk zijn.

Terugkomend op de stuksgewijze functie, zien we dat links van #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Als alternatief, rechts van #x = 2 #, we zien dat #f (x) = x ^ 3-cx #

Zo:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

De limieten evalueren:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

Vanaf hier is het gewoon een kwestie van oplossen # C #:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Wat hebben we gevonden? Wel, we hebben een waarde bedacht # C # die deze functie overal zal laten voortduren. Een andere waarde van # C # en de rechter- en linkerhandlimieten zijn niet gelijk aan elkaar en de functie zal niet overal continu zijn.

Om een idee te krijgen hoe dit werkt, bekijk deze interactieve grafiek die ik heb gemaakt. Kies verschillende waarden voor # C #en zie hoe de functie niet langer continu is #x = 2 #!

Hoop dat het geholpen heeft:)