Wat zijn de lokale maxima en minima van f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Antwoord:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Deze functie heeft een verticale asymptoot op # X = 2 #, benaderingen #1# van boven als x naar toe gaat # + oo # (horizontale asymptoot) en benaderingen #1# van onderen naar x toe # -oo #. Alle derivaten zijn niet gedefinieerd op # X = 2 # ook. Er is één lokale minima voor # X = 0 #, # Y = 0 # (Al die problemen voor de oorsprong!)

Merk op dat je misschien mijn wiskunde wilt controleren, zelfs de beste van ons laat het vreemde negatieve teken vallen en dit is een lange vraag.

Uitleg:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Deze functie heeft een verticale asymptoot op # X = 2 #, omdat de noemer nul is wanneer # X = 2 #.

Het nadert #1# van boven als x naar toe gaat # + oo # (horizontale asymptoot) en benaderingen #1# van onderen naar x toe # -oo #, omdat voor grote waarden # X ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # met # X ^ 2> (x-2) ^ 2 # voor #x> 0 # en # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # voor #x <0 #.

Om max / min te vinden hebben we de eerste en tweede afgeleiden nodig.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Gebruik de quotiëntregel!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Gebruikmakend van rule for powers en de kettingregel krijgen we:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

We zijn nu een beetje genaaid …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Nu de tweede afgeleide, gedaan zoals de eerste.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Het is lelijk, maar we hoeven alleen maar aan te sluiten en op te merken waar het zich slecht gedraagt.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Deze functie is ongedefinieerd op # X = 2 #, die asymptoot, maar ziet er overal goed uit.

We willen weten waar de max / min zijn …

we gaan zitten # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # dit is nul als de teller nul is en als de noemer dat niet is.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # of # 4x (2-x) = 0 # Hier is nul op # X = 0 # en # X = 2 #, maar we kunnen geen max / min hebben als de afgeleide / functie niet gedefinieerd is, dus de enige mogelijkheid is # X = 0 #.

"de tweede afgeleide test"

Nu kijken we naar de tweede afgeleide, lelijk zoals het is …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Net als de functie en de eerste afgeleide wordt dit ongedefinieerd op # X = 2 #, maar ziet er overal goed uit.

We sluiten aan # X = 0 # in # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, is zo'n groot nummer niet nul om aan te sluiten?

#=128/256# dat alles voor #1/2#

#1/2 >0# zo # X = 0 # is een lokale minima.

Om de y-waarde te vinden, moeten we deze in de functie pluggen.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # De oorsprong!