Wat zegt de 2e Afgeleide Test over het gedrag van f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 bij deze kritieke aantallen?

Antwoord:

De tweede afgeleide test houdt in dat het kritieke aantal (punt) # X = 4/7 # geeft een lokaal minimum voor # F # terwijl niets zeggen over de aard van # F # op de kritieke aantallen (punten) # X = 0,1 #.

Uitleg:

Als #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, zegt de productregel

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3 x) #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Dit gelijk aan nul instellen en oplossen #X# impliceert dat # F # heeft kritische getallen (punten) op # X = 0,4 / 7,1 #.

Het gebruik van de productregel geeft opnieuw:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Nu #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, en #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

De tweede afgeleide test houdt dus in dat het kritische getal (punt) # X = 4/7 # geeft een lokaal minimum voor # F # terwijl niets zeggen over de aard van # F # op de kritieke aantallen (punten) # X = 0,1 #.

In werkelijkheid, het kritieke aantal (punt) bij # X = 0 # geeft een lokaal maximum voor # F # (en de eerste afgeleide test is sterk genoeg om dit te impliceren, hoewel de tweede afgeleide test geen informatie gaf) en het kritieke aantal (punt) bij # X = 1 # geeft noch een lokale max noch min voor # F #, maar een (eendimensionaal) "zadelpunt".