Integraal van 1 / sqrt (tanx) dx =?

Antwoord:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) 1) / (tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

Uitleg:

We beginnen met een u-vervanging met # U = sqrt (tanx) #

De afgeleide van # U # is:

# (Du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

dus delen we dat op om te integreren met betrekking tot # U # (en onthoud, delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2x du = #

# = int 2 / sec ^ 2x du #

Omdat we niet kunnen integreren #X#is met betrekking tot # U #, we gebruiken de volgende identiteit:

# Sec ^ 2 theta = tan ^ 2teta + 1 #

Dit geeft:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

Deze overblijvende integraal maakt gebruik van een nogal vervelende gedeeltelijke fractiedecompositie, dus ik zal het hier niet doen. Bekijk dit antwoord als u geïnteresseerd bent in hoe het is uitgewerkt:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

Vervangend voor # U = sqrt (tanx) #, we krijgen:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) 1) / (tanx-sqrt (2tanx) +1) | + C #

Antwoord:

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

Uitleg:

# I = int1 / sqrt (tanx) dx #

Laat, #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => s ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + tan ^ 2 x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1 + (t ^ 2) ^ 2 #

#:. I = int1 / cancelt * (2 * cancelt * dt) / (1 + t ^ 4) = int2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = Int (t ^ 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt #

# = Int (1 + 1 / t ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / ((t + 1 / t) ^ 2- 2) dt #

Nemen,# (T-1 / t) = uand (t + 1 / t) = v ## => (1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv ## => I = int1 / (u ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-int1 / (v ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2) dv = 1 / sqrt (2) tan ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (v-sqrt2) / (v + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t-1 / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t + 1 / t) -sqrt2) / ((t + 1 / t) + sqrt2) | + c ## = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t ^ 2 + 1-sqrt (2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) | + c #

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #