Wat is een Taylor-uitbreiding van e ^ (- 2x) gecentreerd op x = 0?

Antwoord:

#E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3 + 3x ^ 2 / 3x ^ 4 … #

Uitleg:

Het geval van een taylor-serie breidde zich uit #0# wordt een Maclaurin-serie genoemd. De algemene formule voor een Maclaurin-serie is:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Om een serie uit te werken voor onze functie kunnen we beginnen met een functie voor # E ^ x # en gebruik dat om een formule uit te vinden voor #E ^ (- 2x) #.

Om de Maclaurin-serie te construeren, moeten we de n-de afgeleide vinden van # E ^ x #. Als we een paar afgeleiden nemen, kunnen we vrij snel een patroon zien:

#f (x) = x ^ e #

#f '(x) = x ^ e #

#f '' (x) = x ^ e #

In feite is de n-de afgeleide van # E ^ x # is gewoon # E ^ x #. We kunnen dit aansluiten op de Maclaurin-formule:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ Oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Nu hebben we een taylor-serie voor # E ^ x #, we kunnen gewoon alle vervangen #X#is met # -2x # om een serie voor te krijgen #E ^ (- 2x) #:

#E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 = … #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3 + 3x ^ 2 / 3x ^ 4 … #

welke is de serie waar we naar op zoek waren.

De basis van een driehoek van een bepaald gebied varieert omgekeerd als de hoogte. Een driehoek heeft een basis van 18 cm en een hoogte van 10 cm. Hoe vind je de hoogte van een driehoek van hetzelfde oppervlak en met een basis van 15 cm?

Hoogte = 12 cm Het oppervlak van een driehoek kan worden bepaald met het vergelijkingsgebied = 1/2 * basis * hoogte Zoek het gebied van de eerste driehoek door de metingen van de driehoek in de vergelijking te plaatsen. Areatriangle = 1/2 * 18 * 10 = 90cm ^ 2 Laat de hoogte van de tweede driehoek = x. Dus de gebiedsvergelijking voor de tweede driehoek = 1/2 * 15 * x Aangezien de gebieden gelijk zijn, 90 = 1/2 * 15 * x Tijden beide zijden met 2. 180 = 15x x = 12

Het gewicht van een nikkel is 80% van het gewicht van een kwart. Als een nikkel 5 gram weegt, hoeveel weegt een kwart dan? Een dubbeltje weegt 50% zoveel als een nikkel. Wat is het gewicht van een dubbeltje?

Gewicht van een kwart = 6,25 gram Gewicht van een dubbeltje = 2,5 gram Het gewicht van een nikkel is 80% gewicht van een kwart of Het gewicht van een nikkel is 5 gram of een gewicht van een kwart = 5 / 0,8 = 6,25 gram --- ---------- Ans1 Gewicht van een dubbeltje = 50% = 1/2 (gewicht van het nikkel) = 5/2 = 2,5 gram ------------- Ans2

Hoe vind je het derde graad Taylor polynoom voor f (x) = ln x, gecentreerd op a = 2?

Ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3. De algemene vorm van een Taylor-expansie gecentreerd op een van een analytische functie f is f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Hier is f ^ ((n)) de n-de afgeleide van f. Het Taylor-polynoom van de derde graad is een polynoom dat bestaat uit de eerste vier (n variërende van 0 tot 3) termen van de volledige Taylor-expansie. Daarom is dit polynoom f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (xa) ^ 3 . f (x) = ln (x), dus f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3.