Wat is de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Antwoord:

#(0.14414, 0.05271)# is een lokaal maximum

#(1.45035, 0.00119)# en #(-1.59449, -1947.21451)# zijn de lokale minima.

Uitleg:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# Dy / dx = x (3 x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Dit kwalificeert niet als een lokaal extremum.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Om de wortels van deze kubieke functie op te lossen, gebruiken we de Newton-Raphson-methode:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Dit is een iteratief proces dat ons dichterbij en dichter bij de wortel van de functie brengt. Ik neem hier het langdurige proces niet op, maar omdat we bij de eerste wortel zijn aangekomen, kunnen we een lange deling uitvoeren en het overgebleven kwadratische veld gemakkelijk oplossen voor de andere twee wortels.

We zullen de volgende wortels krijgen:

# x = 0.14414, 1.45035 en -1.59449 #

We voeren nu een eerste afgeleide test uit en proberen waarden links en rechts van elke wortel om te zien waar het derivaat positief of negatief is.

Dit zal ons vertellen welk punt een maximum is en welk minimum.

Het resultaat is als volgt:

#(0.14414, 0.05271)# is een lokaal maximum

#(1.45035, 0.00119)# en #(-1.59449, -1947.21451)# zijn de lokale minima.

U kunt een van de minimumwaarden in de onderstaande grafiek zien:

De volgende weergave toont het maximum en het andere minimum: