Laat f: Rise gedefinieerd van R naar R. vind je de oplossing van f (x) = f ^ -1 (x)?

Antwoord:

# f (x) = x #

Uitleg:

We zoeken een functie #f: RR rarr RR # zo'n oplossing #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Dat wil zeggen dat we een functie zoeken die zijn eigen inverse is. Een voor de hand liggende functie is de triviale oplossing:

# f (x) = x #

Een meer grondige analyse van het probleem is echter van grote complexiteit zoals onderzocht door Ng Wee Leng en Ho Foo Him zoals gepubliceerd in het Journal of the Association of Teachers of Mathematics.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Antwoord:

Kijk hieronder.

Uitleg:

De gemeenschappelijke punten tussen # C_f # en #C_ (f ^ (- 1)) # als ze bestaan, bevinden ze zich niet altijd in de bissectrice # Y = x #. Hier is een voorbeeld van een dergelijke functie: #f (x) = x ^ 1-2 # #color (wit) (a) #, #X##in## 0, + oo) #

grafiek {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Ze bevinden zich echter alleen in de bissectrice en alleen als # F # is # # toeneemt.

Als # F # neemt dan strikt toe #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Als # F # is niet strikt verhogen de gemeenschappelijke punten worden gevonden door het oplossen van het systeem van vergelijkingen

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Antwoord:

#F ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> X = 1 #

Uitleg:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (wit) (aa) #, #X##in## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (wit) (aa) #, # AA ##X##in## RR #

zo # F # is # # in # RR #. Als een strikt monotone functie is het ook "#1-1#"en als een één-op-één-functie heeft het een inverse.

We moeten de vergelijking oplossen #F ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (F) f (x) = x # #<=>#

# X ^ 3 + x-1 = x # #<=># # X ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (X-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (X ^ 2 + x + 1> 0) #

# X = 1 #