Wat is de lokale extrema van f (x) = xlnx-xe ^ x?

Antwoord:

Deze functie heeft geen lokale extrema.

Uitleg:

#f (x) = xlnx-xe ^ x duidt op #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Voor #X# om een lokaal extremum te zijn, #G (x) # moet nul zijn. We zullen nu laten zien dat dit niet gebeurt voor een echte waarde van #X#.

Let daar op

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Dus #G ^ '(x) # zal verdwijnen als

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Dit is een transcendentale vergelijking die numeriek kan worden opgelost. Sinds #g ^ '(0) = + oo # en #G ^ '(1) = 1-3e <0 #, de wortel ligt tussen 0 en 1. En sindsdien #g ^ {''} (0) <0 # voor allemaal positief #X#, dit is de enige root en het komt overeen met een maximum voor #G (x) #

Het is vrij eenvoudig om de vergelijking numeriek op te lossen, en dit laat dat zien #G (x) # heeft een maximum op # X = 0,3152 # en de maximale waarde is #g (0.3152) = -1.957 #. Omdat de maximale waarde van #G (x) # is negatief, er is geen waarde van #X# waarbij #G (x) # verdwijnt.

Het kan leerzaam zijn om dit grafisch te bekijken:

graph {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Zoals je kunt zien in de bovenstaande grafiek, is de functie #f (x) # heeft eigenlijk een maximum van # X = 0 # - maar dit is geen lokaal maximum. De onderstaande grafiek toont dat #g (x) equiv f ^ '(x) # neemt nooit de waarde nul.

grafiek {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}