Antwoord:
De discriminant #Delta# van # m ^ 2 + m + 1 = 0 # is #-3#.
Zo # m ^ 2 + m + 1 = 0 # heeft geen echte oplossingen. Het heeft een geconjugeerd paar complexe oplossingen.
Uitleg:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # is van de vorm # ben ^ 2 + bm + c = 0 #, met # A = 1 #, # B = 1 #, # C = 1 #.
Dit heeft discriminerend #Delta# gegeven door de formule:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
We kunnen dat concluderen # m ^ 2 + m + 1 = 0 # heeft geen echte wortels.
De wortels van # m ^ 2 + m + 1 = 0 # worden gegeven door de kwadratische formule:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Merk op dat de discriminant het deel binnen de vierkantswortel is. Dus indien # Delta> 0 # dan heeft de kwadratische vergelijking twee verschillende echte wortels. Als #Delta = 0 # dan heeft het een herhaalde echte wortel. Als # Delta <0 # dan heeft het een paar verschillende complexe wortels.
In ons geval:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
Het nummer # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # wordt vaak aangeduid met de Griekse letter #omega#.
Het is de primitieve kubuswortel van #1# en is belangrijk bij het vinden van alle wortels van een algemene kubieke vergelijking.
Let erop dat # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
Zo # omega ^ 3 = 1 #
Antwoord:
De discriminant van # (M + m ^ 2 + 1 = 0) # is #(-3)# wat ons vertelt dat er geen echte oplossingen voor de vergelijking zijn (een grafiek van de vergelijking loopt niet over de m-as).
Uitleg:
Gegeven een kwadratische vergelijking (met # M # als de variabele) in de vorm:
#color (wit) ("XXXX") ## ben ^ 2 + bm + c = 0 #
De oplossing (in termen van # M #) wordt gegeven door de kwadratische formule:
#color (wit) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
De discriminant is het gedeelte:
#color (wit) ("XXXX") ## B ^ 2-4ac #
Als het discriminant is negatief
#color (wit) ("XXXX") #er kan zijn geen echte oplossingen
#color (wit) ("XXXX") #(aangezien er geen echte waarde is die de vierkantswortel van een negatief getal is).
Voor het gegeven voorbeeld
#color (wit) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
de discriminant, #Delta# is
#color (wit) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
en daarom
#color (wit) ("XXXX") #er zijn geen echte oplossingen voor dit kwadratische.
