Antwoord:
De gegeven functie heeft een minima-punt, maar heeft zeker geen punt van maxima.
Uitleg:
De gegeven functie is:
Bij differentiatie,
Voor kritieke punten moeten we instellen, f '(x) = 0.
Dit is het punt van extrema.
Om te controleren of de functie een maxima of minima bereikt bij deze specifieke waarde, kunnen we de tweede afgeleide test uitvoeren.
Omdat de tweede afgeleide op dat punt positief is, impliceert dit dat de functie op dat moment een punt van minima bereikt.
Wat is de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?
F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x heeft een lokaal minimum voor x = 1 en een lokaal maximum voor x = 3 We hebben: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x functie wordt gedefinieerd in alle RR als x ^ 2 + 3> 0 AA x We kunnen de kritieke punten identificeren door te vinden waar de eerste afgeleide gelijk is aan nul: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 dus de kritieke punten zijn: x_1 = 1 en x_2 = 3 Omdat de noemer altijd positief is, is het teken van f '(x) het tegenovergestelde van het teken van de teller (x ^ 2-4x + 3) Nu w
Wat is de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?
Lokaal maximum van 80 (bij x = -1) en lokaal minimum van -80 (bij x = 1. F (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Kritieke getallen zijn: -1, 0 en 1 Het teken van f 'verandert van + naar - als we x = -1 passeren, dus f (-1) = 80 is een lokaal maximum . (Aangezien f oneven is, kunnen we onmiddellijk concluderen dat f (1) = - 80 een relatief minimum is en f (0) geen lokaal extremum is.) Het teken van f 'verandert niet als we x = 0 passeren, dus f (0) is geen lokaal extremum Het teken van f 'verandert van - naar + als we x = 1 passeren, dus f (1) = -80 is een lokaal minim
Wat is de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?
Lokaal maximum van 13 op 1 en lokaal minimum van 0 op 0. Domein van f is RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 op x = -1 en f' (x) bestaat niet bij x = 0. Zowel -1 als 9 bevinden zich in het domein van f, dus ze zijn beide kritische getallen. Eerste afgeleide test: Aan (-oo, -1), f '(x)> 0 (bijvoorbeeld bij x = -2 ^ 15) Aan (-1,0), f' (x) <0 (bijvoorbeeld bij x = -1 / 2 ^ 15) Daarom is f (-1) = 13 een lokaal maximum. Aan (0, oo), f '(x)> 0 (gebruik een grote positieve x) Dus f (0) = 0 is een lokaal minimum.