Hoe integreer je f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) met behulp van gedeeltelijke breuken?

Antwoord:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Uitleg:

Omdat de noemer al is verwerkt, is het enige wat we moeten doen om gedeeltelijke breuken op te lossen voor de constanten:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (ax + b) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Merk op dat we beide een #X# en een constante term op de meest linkse breuk omdat de teller altijd 1 graad lager is dan de noemer.

We zouden kunnen vermenigvuldigen met de noemer aan de linkerkant, maar dat zou een enorme hoeveelheid werk zijn, dus we kunnen in plaats daarvan slim zijn en de cover-up-methode gebruiken.

Ik zal het proces niet in detail bespreken, maar in essentie gaan we na wat de noemer gelijk aan nul maakt (in het geval van # C # het is # X = 3 #), en het in te pluggen aan de linkerkant en te evalueren terwijl je de factor bedekt die overeenkomt met de constante geeft dit:

# = C (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (tekst (////)) (07/03)) = - 11/6 #

We kunnen hetzelfde doen voor # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (text (////))) = 35/51 #

De cover-up methode werkt alleen voor lineaire factoren, dus we zijn gedwongen om op te lossen voor de #EEN# en # B # gebruikmakend van de traditionele methode en vermenigvuldigend via de noemer aan de linkerkant:

# 3x ^ 2-x = (ax + b) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Als we alle haakjes vermenigvuldigen en alle coëfficiënten van de verschillende gelijk stellen #X# en constante termen, we kunnen de waarden van #EEN# en # B #. Het is een vrij lange berekening, dus ik zal gewoon een link achterlaten voor diegene die geïnteresseerd is:

Klik hier

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Dit geeft aan dat onze integraal is:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

De eerste twee kunnen worden opgelost met behulp van tamelijk eenvoudige u-substituties van de noemers:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

We kunnen de resterende integraal splitsen in twee:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Ik zal de linker Integrale 1 en de juiste Integrale 2 noemen.

Integraal 1

We kunnen deze integraal oplossen door een u-vervanging van # U = x ^ 2 + 2 #. Het derivaat is # 2x #, we verdelen ons door # 2x # integreren met betrekking tot # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integraal 2

We willen deze integraal in de vorm krijgen voor # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Als we een vervanging introduceren bij # X = sqrt2u #, we zullen onze integraal in deze vorm kunnen transformeren. Integreren met betrekking tot # U #, we moeten vermenigvuldigen met # Sqrt2 # (sinds we de afgeleide namen met betrekking tot # U # in plaats van #X#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

De oorspronkelijke integraal voltooien

Nu we weten wat Integral 1 en Integral 2 is, kunnen we de originele integraal voltooien om ons definitieve antwoord te krijgen:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #