Wat zijn de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Antwoord:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) approx 0.541 #

Uitleg:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

De productregel toepassen

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Voor lokale maxima of minima: #f '(x) = 0 #

Laat # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 of z = -2 #

Vandaar voor lokaal maximum of minimum:

#lnx = 0 of lnx = -2 #

#:.x = 1 of x = e ^ -2 ongeveer 0.135 #

Bekijk nu de grafiek van #x (lnx) ^ 2 # hieronder.

grafiek {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

We kunnen dat vereenvoudigen waarnemen #f (x) # heeft een lokaal minimum op # X = 1 # en een lokaal maximum op #x in (0, 0.25) #

Vandaar: #f_min = f (1) = 0 # en #f_max = f (e ^ (- 2)) approx 0.541 #