Wat is de integraal van int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Antwoord:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Uitleg:

Ons grote probleem in deze integraal is de wortel, dus we willen er vanaf. We kunnen dit doen door een vervanging te introduceren # U = sqrt (2 x-1) #. Het derivaat is dan

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2 x-1) #

Dus we verdelen door (en onthouden, delen door een reciproque is hetzelfde als vermenigvuldigen met alleen de noemer) om te integreren met betrekking tot # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Nu hoeven we alleen de # X ^ 2 # aangaande met # U # (aangezien je niet kunt integreren #X# rekeninghoudend met # U #):

# U = sqrt (2 x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2 x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

We kunnen dit terug in onze integraal pluggen om te krijgen:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Dit kan worden geëvalueerd met behulp van de omgekeerde machtsregel:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Vervangend voor # U = sqrt (2 x-1) #, we krijgen:

# 20/01 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #