Antwoord:
# X ^ 3-3x + 6 # heeft lokale extrema op # X = -1 # en # X = 1 #
Uitleg:
De lokale extrema van een functie vindt plaats op punten waar de eerste afgeleide van de functie is #0# en het teken van de eerste afgeleide wijzigingen.
Dat is, voor #X# waar #f '(x) = 0 # en ook #f '(x-varepsilon) <= 0 en f' (x + varepsilon)> = 0 # (lokaal minimum) of
#f '(x-varepsilon)> = 0 en f' (x + varepsilon) <= 0 # (lokaal maximum)
Om de lokale extrema te vinden, moeten we dus de punten vinden waar #f '(x) = 0 #.
#f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) #
zo
#f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Kijkend naar het teken van # F '# we krijgen
# {(f '(x)> 0 als x <-1), (f' (x) <0 als -1 <x <1), (f '(x)> 0 als x> 1):} #
Dus het teken van # F '# veranderingen bij elk van #x = -1 # en #x = 1 # wat betekent dat er op beide punten een lokaal extremum is.
Opmerking: van de verandering in tekens kunnen we verder vaststellen dat er een lokaal maximum is op #x = -1 # en een lokaal minimum op #x = 1 #.
