Gebruik het eerste principe om te differentiëren? y = sqrt (sinx)

Antwoord:

Stap één is het herschrijven van de functie als een rationele exponent #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Uitleg:

Nadat je je expressie in die vorm hebt, kun je het onderscheiden met behulp van de kettingregel:

In jouw geval: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Dan, # 1 / 2sin (x) ^ {- 1/2} * cos (x) # wat is jouw antwoord

Antwoord:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Uitleg:

Met behulp van de limietdefinitie van het derivaat hebben we:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Dus voor de gegeven functie, waar #f (x) = sqrt (sinx) #, wij hebben:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (SiNx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (SiNx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Dan kunnen we de trigonometrische identiteit gebruiken:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Geeft ons:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Vervolgens gebruiken we twee zeer standaard calculuslimieten:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, en #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #en #

En we kunnen nu de limieten evalueren:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #