Hoe vind je het volume van de vaste stof die wordt gegenereerd door het draaien van het gebied dat wordt begrensd door de krommen y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) geroteerd rond de y = 4?

Antwoord:

# V = 685 / 32pi # kubieke eenheden

Uitleg:

Schets eerst de grafieken.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

#X#-onderscheppen

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # En dat hebben we # {(X = 0), (x = 1):} #

Dus onderscheppingen zijn #(0,0)# en #(1,0)#

Verkrijg de vertex:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Dus vertex is er #(1/2,-1/4)#

Herhaal voorgaande:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # En dat hebben we # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Dus onderscheppingen zijn # (Sqrt (3), 0) # en # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Dus vertex is er #(0,3)#

Resultaat:

Hoe het volume te krijgen? We zullen de gebruiken schijf methode!

Deze methode is eenvoudig dat: # "Volume" = piint_a ^ door ^ 2DX #

Het idee is eenvoudig, maar je moet het slim gebruiken.

En dat is wat we gaan doen.

Laten we ons volume bellen # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ bis (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ bis (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Ik neem # (4-y) # omdat # Y # is alleen de afstand tot de #X#-as naar de curve, terwijl we de afstand van de lijn willen # Y = 4 # naar de curve!

Nu te vinden #een# en # B #, we stellen gelijk # Y_1 # en # Y_2 # en dan oplossen voor #X#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2 x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} #

Sinds #een# komt eerder # B #, # => A = -1 # en # B = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x +16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Doe hetzelfde voor # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2 + 2 x ^ x ^ 4) dx = pi x + (2 x ^ 3) / 3 + x ^ 05/05 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = kleur (blauw) ((685pi) / 32) #

Hoe gebruik je de shell-methode om de integraal in te stellen en te evalueren die het volume van de vaste stof genereert die wordt gegenereerd door het draaien van het vlakke gebied y = sqrt x, y = 0 en y = (x-3) / 2 geroteerd rond de x- as?

Zie het antwoord hieronder:

Hoe vindt u het volume van de vaste stof die wordt gegenereerd door het gebied dat wordt begrensd door de grafieken van de vergelijkingen y = sqrtx, y = 0 en x = 4 rond de y-as te laten draaien?

V = 8pi volume-eenheden In wezen is het probleem dat je hebt: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Denk eraan, het volume van een solid wordt gegeven door: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Zo, onze oorspronkelijke Intergral komt overeen: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Wat op zijn beurt gelijk is aan: V = pi [x ^ 2 / (2)] tussen x = 0 als onze onderlimiet en x = 4 als onze bovenlimiet. Gebruikmakend van de fundamentele stelling van Calculus vervangen we onze limieten in onze geïntegreerde uitdrukking door de onderlimiet af te trekken van de bovenlimiet. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi volume-eenheden

Hoe vind je het volume van de vaste stof die wordt gegenereerd door het begrensde gebied te draaien door de grafieken van y = -x + 2, y = 0, x = 0 rond de y-as?

Zie het antwoord hieronder: