Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Antwoord:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Uitleg:

we zoeken:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Wanneer we een limiet evalueren, kijken we naar het gedrag van de functie "nabij" het punt, niet noodzakelijk het gedrag van de functie "op" het punt in kwestie, dus als #x rarr 0 #, op geen enkel moment moeten we overwegen wat er gebeurt # X = 0 #, Zo krijgen we het triviale resultaat:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Voor de duidelijkheid een grafiek van de functie om het gedrag rond te visualiseren # X = 0 #

grafiek {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Het moet duidelijk worden gemaakt dat de functie # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # is ongedefinieerd op # X = 0 #

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

De definities van de limiet van een functie die ik gebruik, zijn gelijk aan:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # zo en alleen van voor elk positief # Epsilon #, er is een positief #delta# zodanig dat voor elke #X#, als # 0 <abs (x-a) <delta # dan #abs (f (x) - L) <epsilon #

Vanwege de betekenis van "#abs (f (x) - L) <epsilon #", dit vereist dat voor iedereen #X# met # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # is gedefinieerd.

Dat wil zeggen, voor de vereiste #delta#, alles van # (A-delta, a + delta) # behalve misschien #een#, ligt in het domein van # F #.

Dit alles zorgt ervoor dat we:

#lim_ (xrarra) f (x) # bestaat alleen als # F # is gedefinieerd in een open interval met #een#, behalve misschien op #een#.

(# F # moet worden gedefinieerd in een verwijderde open buurt van #een#)

daarom #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # bestaat niet.

Een bijna triviaal voorbeeld

#f (x) = 1 # voor #X# een irrationele real (ongedefinieerd voor rantsoenen)

#lim_ (xrarr0) f (x) # bestaat niet.