Precalculus

Een eigenvector is een vector die door een lineaire operator in een andere vector in dezelfde richting wordt getransformeerd. Eigenwaarde (eigennummer wordt niet gebruikt) is de evenredigheidsfactor tussen de oorspronkelijke eigenvector en de getransformeerde. Stel dat A een lineaire transformatie is die we in een bepaalde deelruimte kunnen definiëren. We zeggen dat vec v een eigenvector is van genoemde lineaire transformatie als en alleen als er een lambda-scalair bestaat, zodanig dat: A cdot vec v = lambda cdot vec v Aan deze scalaire lambda zullen we het eigenwaarde noemen die is geassocieerd met de eigenvector vec Lees verder »

De grafiek van kwadratische krommen van die vorm is altijd een parabool. Er zijn een paar dingen die we aan de hand van je vergelijking kunnen zeggen: 1) de leidende coëfficiënt is 1, wat positief is, dus je parabool gaat open. 2) sinds de parabool zich opent, komt het "eindgedrag" uiteindelijk terecht. 3) aangezien de parabool zich opent, heeft de grafiek een minimum aan het toppunt. Laten we nu de top vinden. Er zijn verschillende manieren om dit te doen, inclusief het gebruik van de formule -b / (2a) voor de x-waarde. (- (- 4)) / (2 * 1) = 4/2 = 2 Vervang x = 2 en zoek de y-waarde: (2) ^ 2-4 (2) = 4 Lees verder »

Veel dingen op verschillende gebieden van de wiskunde. Hier zijn een paar voorbeelden: Waarschijnlijkheid (combinatoriek) Als een eerlijke munt 10 keer wordt gegooid, wat is dan de kans op precies 6 koppen? Antwoord: (10!) / (6! 4! 2 ^ 10) Serie voor zonde, cos en exponentiële functies sin (x) = x - x ^ 3 / (3!) + X ^ 5 / (5!) -X ^ 7 / (7!) + ... cos (x) = 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + ... Taylor Series f (x) = f (a) / (0 !) + (f (a)) / (1!) (x) + (f ' '(a)) / (2!) (x) ^ 2 + (f' ''(a)) / (3 !) (xa) ^ 3 + ... Binomia Lees verder »

Zie de uitleg hieronder. Een limiet "bij oneindig" van een functie is: een getal dat f (x) (of y) bijna benadert als x zonder gebonden verhoogt. Een limiet op oneindig is een limiet omdat de onafhankelijke variabele zonder gebonden groeit. De definitie is: lim_ (xrarroo) f (x) = L als en alleen als: voor elke epsilon die positief is, is er een m zodanig dat: als x> M, dan abs (f (x) -L) < epsilon. Als x bijvoorbeeld stijgt zonder grenzen, komt 1 / x steeds dichter bij 0. Voorbeeld 2: als x stijgt zonder grenzen, komt 7 / x dichter bij 0 als xrarroo (als x stijgt zonder grenzen), (3x-2) / (5x + 1) rarr 3/5 W Lees verder »

Punten op een functie waar een lokale maximum- of minimumwaarde voorkomt. Voor een continue functie over zijn gehele domein, bestaan deze punten waar de helling van de functie = 0 (dat wil zeggen dat de eerste afgeleide gelijk is aan 0). Overweeg een aantal doorlopende functies f (x) De helling van f (x) is gelijk aan nul waarbij f '(x) = 0 op een bepaald punt (a, f (a)). Dan is f (a) een lokale extreme waarde (maximaal of minimum) van f (x) N.B. Absolute extrema zijn een subset van lokale extremen. Dit zijn de punten waar f (a) de extreme waarde van f (x) is voor het gehele domein. Lees verder »

Een wortel van eenheid is een complex getal dat als het wordt verhoogd naar een positief geheel getal 1 retourneert. Het is een complex getal z dat voldoet aan de volgende vergelijking: z ^ n = 1 waarbij n in NN is, wat wil zeggen dat n een natuurlijk getal is aantal. Een natuurlijk getal is een positief geheel getal: (n = 1, 2, 3, ...). Dit wordt soms een telnummer genoemd en de notatie hiervoor is NN. Voor elke n kunnen er meerdere z-waarden zijn die aan die vergelijking voldoen, en die waarden omvatten de wortels van eenheid voor die n. Wanneer n = 1 Wortels van eenheid: 1 Wanneer n = 2 Wortels van eenheid: -1, 1 Wannee Lees verder »

Waarschijnlijk een van de meest voorkomende fouten is het vergeten om de haakjes op sommige functies te zetten. Bijvoorbeeld, als ik y = 5 ^ (2x) zou plotten zoals vermeld in een probleem, dan kunnen sommige studenten de rekenmachine 5 ^ 2x gebruiken. De rekenmachine leest echter dat het 5 ^ 2x is en niet zoals gegeven. Het is dus belangrijk om haakjes in te voegen en 5 ^ (2x) te schrijven. Voor logistieke functies kan een fout het gebruik van natuurlijke log vs. log onjuist impliceren, zoals: y = ln (2x), wat e ^ y = 2x is; versus y = log (2x), wat voor 10 ^ y = 2x is. Exponentconversies naar logistieke functies kunnen oo Lees verder »

(1) f (x) = x ^ 2, (2) g (x) = sin (x) (3) h (x) = 3x + 1 Een functie is continu, intuïtief, als deze kan worden getekend (dwz getekend ) zonder dat u het potlood (of de pen) van het papier hoeft te tillen. Dat wil zeggen, het benaderen van elk punt x, in het domein van de functie van links, dat wil zeggen x-epsilon, als epsilon -> 0, levert dezelfde waarde op als het benaderen van hetzelfde punt van rechts, dwz x + epsilon, als ε 0. Dit is het geval bij elk van de genoemde functies. Het zou niet het geval zijn voor de functie d (x) gedefinieerd door: d (x) = 1, als x> = 0, en d (x) = -1, als x <0. Dat wil z Lees verder »

Hier zijn drie belangrijke voorbeelden ... Geometrische reeks Als abs (r) <1 dan is de som van de meetkundige reeksen a_n = r ^ n a_0 convergent: sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) Exponentiële functie De reeks die e ^ x definieert is convergent voor elke waarde van x: e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) Om dit te bewijzen, voor elke gegeven x, laat N een geheel getal groter dan abs (x) zijn. Vervolgens convergeert sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) Omdat het een eindige som is en sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) Convergeert sinds de absolute waarde van de ratio van opeenvolgende termen is minder dan abs ( Lees verder »

Het eindgedrag van de meest elementaire functies zijn de volgende: Constanten Een constante is een functie die voor elke x dezelfde waarde aanneemt, dus als f (x) = c voor elke x, dan is natuurlijk ook de limiet als x naderbij pm infty zal nog steeds c zijn. Polynomen Oneven graad: polynomen van een oneven graad "respecteren" de oneindigheid waarnaar x naderbij komt. Dus, als f (x) een odd-degree polynoom is, dan heb je die lim_ {x to-infty} f (x) = - infty en lim_ {x to + infty} f (x) = + infty ; Gelijkmatige graad: polynomen van gelijke mate neigen naar + infty, ongeacht de richting waarin x nadert, dus je hebt Lees verder »

Voorbeeld 1: Opheffen tot een even macht Los x = root (4) (5x ^ 2-4) op. Het opheffen van beide zijden naar de 4 ^ (de) geeft x ^ 4 = 5x ^ 2-4. Dit vereist, x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0. Factoring geeft (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0. Dus hebben we (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0 nodig. De oplossingenreeks van de laatste vergelijking is {-1, 1, -2, 2}. Als deze worden gecontroleerd, blijkt dat -1 en -2 geen oplossingen zijn voor de oorspronkelijke vergelijking. Roep op dat root (4) x de niet-negatieve 4e wortel betekent.) Voorbeeld 2 Vermenigvuldigen met nul Als je (x + 3) / x = 5 / x oplost door vermenigvuldigen met een kruis, krijg je Lees verder »

Een functie samenstellen is om de ene functie in de andere in te voeren om een andere functie te vormen. Hier zijn een paar voorbeelden. Voorbeeld 1: Als f (x) = 2x + 5 en g (x) = 4x - 1, bepaal dan f (g (x)). Dit betekent dat je g (x) invoert voor x binnen f (x). f (g (x)) = 2 (4x- 1) + 5 = 8x- 2 + 5 = 8x + 3 Voorbeeld 2: Als f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x en g (x) = sqrt ( 3x), bepaal g (f (x)) en vermeld het domein Zet f (x) in g (x). g (f (x)) = sqrt (3 (3x ^ 2 + 12x + 12)) g (f (x)) = sqrt (9x ^ 2 + 36x + 36) g (f (x)) = sqrt (( 3x + 6) ^ 2) g (f (x)) = | 3x + 6 | Het domein van f (x) is x in RR. Het domein van g (x) is x Lees verder »

Voorbeeld 1: f (x) = x ^ 2 / {(x + 2) (x-3)} Verticale asymptoten: x = -2 en x = 3 Horizontale asymptoot: y = 1 Slant Asymptoot: Geen Voorbeeld 2: g ( x) = e ^ x Verticale asymptoot: Geen Horizontale asymptoot: y = 0 Slant Asymptoot: Geen Voorbeeld 3: h (x) = x + 1 / x Verticale asymptoot: x = 0 Horizontale asymptoot: Geen Slant Asymptoot: y = x I hoop dat dit nuttig was. Lees verder »

Hier zijn een paar voorbeelden ... Hier is een voorbeeldanimatie van lang delen x ^ 3 + x ^ 2-x-1 door x-1 (die precies verdeelt). Schrijf het dividend onder de balk en de deler aan de linkerkant. Elk wordt geschreven in afnemende volgorde van de krachten van x. Als er x-kracht ontbreekt, moet u deze met een coëfficiënt 0 opnemen. Als u bijvoorbeeld deelt door x ^ 2-1, geeft u de deler uit als x ^ 2 + 0x-1. Kies de eerste term van het quotiënt om ervoor te zorgen dat toonaangevende termen overeenkomen. In ons voorbeeld kiezen we x ^ 2, omdat (x-1) * x ^ 2 = x ^ 3-x ^ 2 overeenkomt met de toonaangevende x ^ 3 Lees verder »

Dit is directe scalaire vermenigvuldiging en vervolgens aftrekken van matrices. Scalaire vermenigvuldiging van matrices betekent eenvoudig dat elk element in de matrix wordt vermenigvuldigd met de constante. Dus elk element in A wordt vermenigvuldigd met 2. Dan wordt matrix-aftrekking (en optelling) uitgevoerd door element per element-aftrekking. Dus in dit geval 2 (-8) = -16. Vervolgens trekt u de 1 in de rechterbovenhoek van B af om te geven -16 - 1 = -17. Dus, a = 17 Lees verder »

Sommige soorten bereiken: schietbereik, fornuis + oven, bereik van een wapen, (als werkwoord) om rond te bewegen, thuis op het bereik, enz. Nee, maar serieus, bereik is of de verzameling y-waarden van een functie of het verschil tussen de laagste en hoogste waarden van een reeks getallen. Voor de vergelijking y = 3x-2 is het bereik alle reële getallen omdat een waarde van x kan worden ingevoerd om een reëel getal y (y = RR) op te leveren. Voor de vergelijking y = sqrt (x-3) is het bereik alle reële getallen groter of gelijk aan 3 (y = RR> = 3). Voor de vergelijking y = (x-1) / (x ^ 2-1) is het bereik all Lees verder »

(2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 Met de driehoek van de Pascal is elke binomiale uitbreiding gemakkelijk te vinden: elke term, van deze driehoek, is het resultaat van de som van twee termen op de toplijn. (bijvoorbeeld in rood) 1 1. 1 kleur (blauw) (1. 2. 1) 1. kleur (rood) 3. kleur (rood) 3. 1 1. 4. kleur (rood) 6. 4. 1 ... Meer, elke regel heeft de informatie van één binomiale expansie: De 1e regel, voor de macht 0 De 2e, voor de macht 1 De derde, voor de kracht 2 ... Bijvoorbeeld: (a + b ) ^ 2 we gebruiken de derde regel in blauw na deze uitbreiding: (a + b) ^ 2 = kleur (blauw) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + kl Lees verder »

Het pendelt niet, of is niet altijd gedefinieerd. Het product van twee vierkante matrices (een vierkante matrix is een matrix met hetzelfde aantal rijen en kolommen) AB is niet altijd gelijk aan BA. Probeer het met A = ((0,1), (0,0)) en B = ((0,0), (0,1)). Om het product van twee rechthoekige matrices C en D te berekenen, moet je als je CD wilt, C hetzelfde aantal kolommen hebben als het aantal rijen van D. Als je DC wilt is dit hetzelfde probleem met het aantal kolommen van D en het aantal regels van C. Lees verder »

X ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x + 2)) We moeten deze in termen van elke factor schrijven. x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = A / (x-1) + B / (x + 2) x ^ 2 = A (x + 2) + B (x-1) Putting in x = -2: (-2) ^ 2 = A (-2 + 2) + B (-2-1) 4 = -3B B = -4 / 3 Plaatsing in x = 1: 1 ^ 2 = A ( 1 + 2) + B (1-1) 1 = 3A A = 1/3 x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = (1/3) / (x-1) + (- 4/3) / (x + 2) kleur (wit) (x ^ 2 / ((x-1) (x + 2))) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x 2)) Lees verder »

"Zie uitleg" i "is een getal met de eigenschap dat" i ^ 2 = -1. "Dus als je" 5i "invult, krijg je" (5i) ^ 2 + 23 = 25 i ^ 2 + 23 = 25 * -1 + 23 = -2! = 6 "Dus" 5 i "is niet een oplossing." "Toevoegen en vermenigvuldigen met" i "gaat net als bij normale" "reële getallen, je moet alleen onthouden dat" i ^ 2 = -1. "Een oneven macht van" i "kan niet worden geconverteerd naar een reëel getal:" "(5 i) ^ 3 = 125 * i ^ 3 = 125 * i ^ 2 * i = 125 * -1 * i = -125 i. "Dus dan blijft de denkbeeldige eenheid& Lees verder »

Oneindige csc x = 1 / sin x 0.5 csc x = 0.5 / sin x elk getal gedeeld door 0 geeft een ongedefinieerd resultaat, dus 0,5 boven 0 is altijd ongedefinieerd. de functie g (x) wordt ongedefinieerd op x-waarden waarvoor sin x = 0. van 0 ^ @ tot 360 ^ @, de x-waarden waarbij sin x = 0 0 ^ @, 180 ^ @ en 360 ^ zijn @. alternatief, in radialen van 0 tot 2pi, zijn de x-waarden waar sin x = 0 0, pi en 2pi. aangezien de grafiek van y = sin x periodiek is, herhalen de waarden waarvoor sin x = 0 elke 180 ^ @, of pi-radialen. daarom zijn de punten waarvoor 1 / sin x en dus 0.5 / sin x niet gedefinieerd zijn, 0 ^ @, 180 ^ @ en 360 ^ @ (0, Lees verder »

Door een bit te herschrijven, g (x) = sec2x = 1 / {cos2x}. Er worden verticale asymptoten weergegeven wanneer de noemer 0 wordt en cos2x wordt nul wanneer 2x = pi / 2 + npi = {2n + 1} / 2pi voor geheel getal n, dus door te delen door 2, Rightarrow x = {2n + 1 } / 4pi Daarom zijn de verticale asymptoten x = {2n + 1} / 4pi voor geheel getal n. Ik hoop dat dit nuttig was. Lees verder »

Het is een ellips. De bovenstaande vergelijking kan eenvoudig worden omgezet in de ellipsvorm (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 omdat coëfficiënten van x ^ 2 en ^ 2 beide positief zijn), waarbij (h, k) is het midden van de ellips en de as is 2a en 2b, met een grotere als hoofdas en een andere secundaire as. We kunnen ook hoekpunten vinden door + -a toe te voegen aan h (op dezelfde plaats houden) en + -b tot k (dezelfde abscis behouden). We kunnen de vergelijking 16x ^ 2 + 25y ^ 2-18x-20y + 8 = 0 als 16 schrijven (x ^ 2-18 / 16x) +25 (y ^ 2-20 / 25y) = - 8 of 16 (x ^ 2-2 * 9 / 16x + (9/16) ^ 2) 25 (y ^ 2-2 * Lees verder »

Dit is een cirkel. Vul de vierkanten in om te vinden: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-10x-2y + 10 = (x ^ 2-10x + 25) + (y ^ 2-2y + 1) -16 = (x-5) ^ 2+ (y-1) ^ 2-4 ^ 2 Voeg 4 ^ 2 toe aan beide uiteinden en transponeer om: (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 ^ 2 te krijgen in de vorm: (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 de vergelijking van een cirkel, midden (h, k) = (5, 1) en straal r = 4 grafiek {(x ^ 2 + y ^ 2-10x -2y + 10) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) = 0 [-6.59, 13.41, -3.68, 6.32]} Lees verder »

(3, 3) Naast het punt (5, 1) zijn deze punten de hoekpunten van een vierkant, dus het middelpunt van de cirkel bevindt zich in het middelpunt van de diagonaal tussen (1, 1) en (5, 5), dat is: ((1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2) = (3,3) De straal is de afstand tussen (1, 1) en (3, 3), dat is: sqrt (( 3-1) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (8) Dus de vergelijking van de cirkel kan worden geschreven: (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8 grafiek {( (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-8) ((x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-1 ) ^ 2-0,01) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0,01) ((x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0,01) ((x-3) ^ 100 + (y-3) ^ ^ 100-2 100) (xy) Lees verder »

De cirkel heeft een middelpunt i C = (4,5) en straal r = 7 Om de coördinaten van het midden en de straal van een cirkel te vinden, moeten we de vergelijking transformeren in de vorm van: (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 In het gegeven voorbeeld kunnen we dit doen door te doen: x ^ 2 + y ^ 2-8x-10y-8 = 0 x ^ 2-8x + 16 + y ^ 2-10y + 25-8- 16-25 = 0 (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2-49 = 0 Eindelijk: (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 49 Uit deze vergelijking halen we het midden en de straal. Lees verder »

Wat een gave vraag! Ben je van plan om een gigantische basketbalbehang te behangen? Nou, de formule is SA = 4pir ^ 2 voor het geval je het wilt berekenen! Wikipedia geeft je de formule, evenals aanvullende informatie. Je zou zelfs die formule kunnen gebruiken om te berekenen hoeveel de oppervlakte van de maan is! Zorg ervoor dat u de volgorde van bewerkingen volgt als volgt: maak eerst uw straal vierkant en vermenigvuldig deze vervolgens met 4pi met een rekenmachine met een opgeslagen geschatte waarde voor pi. Om rond af te ronden, en label dan je antwoord in vierkante eenheden, afhankelijk van welke lengte-eenheid je geb Lees verder »

| sin (x) | <= 1, "en" arctan (x) / x> = 0 "As" | sin (x) | <= 1 "en" arctan (x) / x> = 0, "we hebben" | (sin (1 / sqrt (x)) arctan (x)) / (x sqrt (ln (1 + x))) | <= | arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) | = arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) "(zowel arctan (x) / x en" sqrt (...)> = 0 ")" = arctan (x) / (sqrt ( x) sqrt (x ^ -1) x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (sqrt (x) x sqrt (x ^ -1 ln (1 + x))) Lees verder »

Het antwoord is: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). De standaardvergelijking van een ellips is: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Deze ellips is met de foci (F_ (1,2)) op de y-as, aangezien a <b. Dus de x_ (F_ (1,2)) = 0 De ordinaten zijn: c = + - sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = + - sqrt (64-49) = + - sqrt15. Dus: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Lees verder »

De gehele waarden van x zijn 1,3,0,4 Laten we dit als volgt herschrijven: x / (x-2) = [(x-2) +2] / (x-2) = 1 + 2 / (x-2 ) Opdat 2 / (x-2) integer is, moet x-2 een van de delers van 2 zijn die + -1 en + -2 zijn. Vandaar dat x-2 = -1 => x = 1 x-2 = 1 => x = 3 x-2 = -2 => x = 0 x-2 = 2 => x = 4 Vandaar dat de integerwaarden van x 1,3,0,4 zijn Lees verder »

Als de vraag is: "in welk punt onderschept de functie de y-as?", Is het antwoord: in geen punten. Dit komt omdat, als dit punt zou bestaan, de x-coördinaat 0 moet zijn, maar het is onmogelijk om deze waarde aan x te geven omdat 0 de breuk onzin maakt (het is onmogelijk om te delen voor 0). Als de vraag is: "in welke punten onderschept de functie de x-as?", Is het antwoord: op al die punten waarvan de y-coördinaat 0. is. Dus: (x ^ 2-49) / (7x ^ 4) = 0rArrx ^ 2 = 49rArrx = + - 7. De punten zijn: (-7,0) en (7,0). Lees verder »

X = 7 en x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 Aangenomen dat je de complexe wortels van de vergelijking bedoelt: x ^ 3 = 343 We kunnen de ene echte wortel vinden door de derde wortel van beide kanten te nemen: root (3) (x ^ 3) = root (3) (343) x = 7 We weten dat (x-7) een factor moet zijn omdat x = 7 een root is. Als we alles opzij leggen, kunnen we het gebruik van polynomiale langdeling factoreren: x ^ 3-343 = 0 (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 We weten wanneer (x-7) gelijk is aan nul, maar we kunnen de resterende wortels vinden door op te lossen wanneer de kwadratische factor gelijk is aan nul. Dit kan gedaan worden met de kwadratisc Lees verder »

Vouw de vierkanten uit, vervang y = rsin (theta) en x = rcos (theta) en los dan op voor r. Gegeven: (x - 1) ^ 2 - (y + 5) ^ 2 = -24 Hier is een grafiek van de bovenstaande vergelijking: Converteren naar poolcoördinaten. Vouw de vierkantjes uit: x ^ 2 -2x + 1 - (y ^ 2 + 10y + 25) = -24 Hergroeperen op macht: x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y + 1 - 25 = -24 Combineer de constante termen : x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y = 0 Vervang rcos (theta) voor x en rsin (theta) voor y: (rcos (theta)) ^ 2 - (rsin (theta)) ^ 2 -2 (rcos (theta)) - 10 (rsin (theta)) = 0 Laten we de factoren van r buiten de () plaatsen: (cos ^ 2 (theta) - sin ^ 2 (theta Lees verder »

-4, 2 en 3. P (2) = 0. Dus, n-2 is een factor. Nu, P (n) = (n-2) (n ^ 2 + kn-12)). Het vergelijken van de coëfficiënt van n ^ 2 = k-2 met -3, k = -1. Dus, P (n) = (n-2) (n ^ 2-n-12) = (4-2) (n + 4) (n-3). En dus zijn de andere twee nullen -4 en 3.. Lees verder »

De "mogelijke" integrale nullen zijn: + -1, + -2, + -4 Eigenlijk heeft P (p) geen rationale nullen. Gegeven: P (p) = p ^ 4-2p ^ 3-8p ^ 2 + 3p-4 Door de rationele wortels-stelling zijn alle rationale nullen van P (p) in de vorm p / q uit te drukken voor gehele getallen p, q met pa deler van de constante-term -4- en qa-deler van de coëfficiënt 1 van de leidende term. Dat betekent dat de enige mogelijke rationale nullen (die ook toevallig gehele getallen zijn) zijn: + -1, + -2, + -4 In de praktijk vinden we dat geen van deze eigenlijk nullen zijn, dus P (p) heeft geen rationale nullen . Lees verder »

De "mogelijke" integrale nulpunten zijn + -1, + -2, + -4 Geen van deze werken, dus P (y) heeft geen integrale nullen. > P (y) = y ^ 4-5y ^ 3-7y ^ 2 + 21y + 4 Door de rationele wortelstelling zijn alle rationale nullen van P (x) uit te drukken in de vorm p / q voor gehele getallen p, q met pa deler van de constante 4 en qa deler van de coëfficiënt 1 van de leidende term. Dat betekent dat de enige mogelijke rationale nullen de mogelijke gehele nullen zijn: + -1, + -2, + -4 Als we elk van deze proberen, vinden we: P (1) = 1-5-7 + 21 + 4 = 14 P (-1) = 1 + 5-7-21 + 4 = -18 P (2) = 16-40-28 + 42 + 4 = -6 P Lees verder »

De mogelijke wortels van een geheel getal die moeten worden geprobeerd zijn pm 1, pm 3, pm 5, pm 15. Laten we ons voorstellen dat een ander geheel getal een root kan zijn. We kiezen 2. Dit is verkeerd. We staan op het punt om te zien waarom. Het polynoom is z ^ 4 + 5z ^ 3 + 2z ^ 2 + 7z-15. Als z = 2 dan zijn alle termen zelfs omdat ze veelvouden van z zijn, maar dan moet de laatste term gelijk zijn om de hele som gelijk aan nul te maken ... en -15 is niet eens. Dus z = 2 mislukt omdat de deelbaarheid niet lukt. Om de deelbaarheid goed te laten werken moet een gehele wortel voor z iets zijn dat gelijk verdeeld is in de con Lees verder »

De discriminant van de kwadratische formule vertelt je over de aard van wortels die de vergelijking heeft. b ^ 2-4ac = 0, één echte oplossing b ^ 2-4ac> 0, twee echte oplossingen b ^ 2-4ac <0, twee denkbeeldige oplossingen Als discriminant een perfect vierkant is, zijn de wortels rationeel of anders als het niet een perfect vierkant, de wortels zijn irrationeel. Lees verder »

Om dit probleem op te lossen, kunnen we de p / q-methode gebruiken, waarbij p de constante is en q de leidende coëfficiënt is. Dit geeft ons + -12 / 1 wat ons potentiële factoren geeft + -1, + -2, + -3, + -4, + -6 en + -12. Nu moeten we synthetische deling gebruiken om de kubieke functie te verdelen. Het is gemakkelijker om te beginnen met de + -1 en dan de + -2 enzovoort. Bij het gebruik van synthetische dividenden, moeten we een rest 0 hebben om het dividend een nul te laten zijn. Door synthetische deling te gebruiken om onze vergelijking kwadratisch te krijgen, dan door de kwadratische factor in rekening Lees verder »

Zie uitleg ... Een veelterm in een variabele x is een som van eindig veel termen, die elk de vorm a_kx ^ k aannemen voor een bepaald constant a_k en niet-negatief geheel getal k. Dus enkele voorbeelden van typische polynomen kunnen zijn: x ^ 2 + 3x-4 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Een polynomiale functie is een functie waarvan de waarden worden gedefinieerd door een polynoom. Bijvoorbeeld: f (x) = x ^ 2 + 3x-4 g (x) = 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Een nul van een polynoom f (x) is een waarde van x zodat f (x ) = 0. Bijvoorbeeld, x = -4 is een nul van f (x) = x ^ 2 + 3x-4. Een rationale nul is een nul die ook een rationeel getal is, dat wil Lees verder »

X = -1 + -i "controleer de waarde van de" kleur (blauw) "discriminant" "met" a = 1, b = 2, c = 2 Delta = b ^ 2-4ac = 4-8 = -4 " omdat "Delta <0" de vergelijking geen echte oplossingen heeft, "" los met behulp van de "kleur (blauw)" kwadratische formule "x = (- 2 + -sqrt (-4)) / 2 = (- 2 + -2i) / 2 rArrx = -1 + -i "zijn de oplossingen" Lees verder »

Identiteit: f (x) = x Vierkant: f (x) = x ^ 2 Kubus: f (x) = x ^ 3 Wederkerig: f (x) = 1 / x = x ^ (- 1) Vierkantswortel: f ( x) = sqrt (x) = x ^ (1/2) Exponentieel: f (x) = e ^ x Logaritmisch: f (x) = ln (x) Logistiek: f (x) = 1 / (1 + e ^ (-x)) Sinus: f (x) = sin (x) Cosinus: f (x) = cos (x) Absolute waarde: f (x) = abs (x) Geheel getal Stap: f (x) = "int" (X) Lees verder »

R <1 / e is de voorwaarde voor de convergentie van sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) Ik zal alleen het deel over de convergentie beantwoorden, waarbij het eerste deel in de opmerkingen is beantwoord. We kunnen r ^ ln (n) = n ^ ln (r) gebruiken om de som sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) te herschrijven in de vorm sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {voor} p = -ln (r) De serie rechts is het serievorm voor de beroemde Riemann Zeta-functie. Het is bekend dat deze reeks convergeert wanneer p> 1. Het gebruik van dit resultaat geeft direct -ln (r)> 1 betekent ln (r) <- 1 impliceert r <e ^ -1 Lees verder »

De ongelijkheid is kwadratisch van vorm. Stap 1: We hebben nul nodig aan één kant. x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 Stap 2: Aangezien de linkerkant bestaat uit een constante term, een middelste term en een term waarvan de exponent exact het dubbele is van die op de middelste termijn, is deze vergelijking kwadratisch "in vorm". " We gebruiken het als een kwadratische factor, of we gebruiken de kwadratische formule. In dit geval kunnen we factor zijn. Net zoals y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) hebben we nu x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2). We behandelen x ^ 3 alsof het een eenvoudige variabele is, y. Lees verder »

9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 Verdeel elke term door 144. (9x ^ 2) / 144 + (16y ^ 2) / 144 = 144/144 Simplify (x ^ 2) / 16 + (y ^ 2) / 9 = 1 De hoofdas is de x-as omdat de grootste deler onder de x ^ 2-term staat. De coördinaten van de hoekpunten zijn als volgt ... (+ -a, 0) (0, + - b) a ^ 2 = 16 -> a = 4 b ^ 2 = 4 -> b = 2 (+ -4, 0) (0, + - 2) Lees verder »

Ik denk dat er iets mis is met de vraag, zie hieronder. Uitbreiding van je expressie geeft frac {(x + 6) ^ 2} {4} = 1 dus (x + 6) ^ 2 = 4 dus x ^ 2 + 12x + 36 = 4 dus x ^ 2 + 12x + 32 = 0 Dit is niet echt de vergelijking van iets dat u kunt weergeven, omdat een grafiek een relatie vertegenwoordigt tussen de x-waarden en de y-waarden (of in het algemeen de relatie tussen een onafhankelijke en een afhankelijke variabele). In dit geval hebben we slechts één variabele en is de vergelijking gelijk aan nul. Het beste wat we in dit geval kunnen doen is de vergelijking oplossen, d.w.z. om de waarden van x te vinden die a Lees verder »

De hoekpunten zijn (3,0), (-1,0), (1,3), (1, -3) De foci zijn (1, sqrt5) en (1, -sqrt5) Laten we de vergelijking herschikken door het voltooien van de vierkanten 9x ^ 2-18x + 4y ^ 2 = 27 9 (x ^ 2-2x + 1) + 4y ^ 2 = 27 + 9 9 (x-1) ^ 2 + 4y ^ 2 = 36 delen door 36 (x- 1) ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 (x-1) ^ 2/2 ^ 2 + y ^ 2/3 ^ 2 = 1 Dit is de vergelijking van een ellips met een verticale hoofdas Vergelijking van deze vergelijking tot (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Het middelpunt is = (h, k) = (1,0) De hoekpunten zijn A = (h + a, k) = (3,0); A '= (h-a, k) = (- 1,0); B = (h.k + b) = (1,3); B '= (h, kb) = (1, -3) Om de f Lees verder »

De eerste poging om te doen is proberen die polinomie te beïnvloeden. Voor de resterende stelling moeten we f (h) berekenen voor alle gehele getallen die 216 delen. Als f (h) = 0 voor een getal h, dus dit is een nul. De delers zijn: + -1, + - 2, ... Ik heb een paar kleine geprobeerd, dat werkte niet en de andere waren te groot. Dus deze polinomie kan niet worden ontbonden. We moeten het op een andere manier proberen! Laten we proberen de functie te bestuderen. Het domein is (-oo, + oo), de limieten zijn: lim_ (xrarr + -oo) f (x) = + - oo en dus zijn er geen asymptoten van welk type dan ook (schuin, horizontaal of vert Lees verder »

Sinds log_3 (13) = 1 / (log_13 (3)) hebben we (log_3 (13)) (log_13 (x)) (log_x (y)) = (log_13 (x) / (log_13 (3))) (log_x (y)) Het quotiënt met een gemeenschappelijke basis van 13 volgt de wijziging van de basisformule, zodat log_13 (x) / (log_13 (3)) = log_3 (x), en de linkerkant gelijk is aan (log_3 (x)) (log_x (y)) Sinds log_3 (x) = 1 / (log_x (3)) is de linkerkant gelijk aan log_x (y) / log_x (3), wat een wijziging van de basis is voor log_3 (y) Nu weten we dat log_3 (y) = 2, we converteren naar exponentiële vorm, zodat y = 3 ^ 2 = 9. Lees verder »

Je zou beginnen door elke term te delen door 4 om te eindigen met ... x ^ 2 + y ^ 2 = 4 Dit is een vergelijking voor een cirkel, (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, waar (h, k) is het middelpunt van de cirkel en r = straal In ons probleem (h, k) is (0,0) en r ^ 2 = 4 sqrt (r ^ 2) = sqrt (4) r = 2 It is de vergelijking van een cirkel met een middelpunt op (0,0) en een straal van 2. Lees verder »

Bepaal eerst de coëfficiënten voor de term x ^ 2, A en de y ^ 2, C. A = 2 C = 6 Kenmerken van een ellips. A * C> 0 A! = C 2 * 6> 0 True 2! = 6 True Dit is een ellips. Lees verder »

In dit probleem gaan we vertrouwen op het voltooien van de vierkante techniek om deze vergelijking te masseren in een vergelijking die herkenbaarder is. x ^ 2-4x + 4y ^ 2 + 8y = 60 Laten we werken met de x-term (-4/2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 = 4, we moeten 4 aan beide kanten van de vergelijking toevoegen ^ 2-4x + 4 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 x ^ 2-4x + 4 => (x-2) ^ 2 => Perfecte vierkante trinominale Herschrijfvergelijking: (x-2) ^ 2 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 Laten we een 4 uit de y ^ 2 & y-termen weghalen (x-2) ^ 2 + 4 (y ^ 2 + 2y) = 60 + 4 Laten we werken met de y-term (2 / 2) ^ 2 = (1) ^ 2 = 1, we moeten 1 aan beide kanten v Lees verder »

Deze vergelijking is bijna standaard van. De voorwaarden moeten opnieuw worden besteld. Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 x ^ 2 + xy + y ^ 2-x + 2y = 0 We hebben de coëfficiënten A en C nodig om een beslissing te nemen. A = 1 C = 1 A = C 1 = 1 Dit is een cirkel. Lees verder »

Ellips Als a, b en 2h de coëfficiënten zijn van de termen in x ^ 2. y ^ 2 en xy, dan stelt de tweedegraadsvergelijking een ellipsparabool of hyperbool voor als ab-h ^ 2>. = of <0. Hier, ab-h ^ 2 = 225> 0. De vergelijking kan worden gereorganiseerd als (x + 2) ^ 2/9 + (y-1) ^ 2/25 = 1. Centrum C van de ellips is (-2,1). Halve assen a = 5 en b = 3. Grote as is x = -2 is evenwijdig aan de y-as. Eccentriciteit e = sqrt (9 ^ 2-5 ^ 2) / 5 = 2sqrt14 / 5. Voor foci S en S ', CS = CS' = ae = sqrt14. Foci: (-2, 1 + sqrt14) en (-2,1 -sqrt14) Lees verder »

Hyperbool. Cirkel (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 Ellipsen (x - h) ^ 2 / a ^ 2 + (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (x - h ) ^ 2 / b ^ 2 + (y - k) ^ 2 / a ^ 2 = 1 Parabool y - k = 4p (x - h) ^ 2 x - h = 4p (y - k) ^ 2 Hyperbola (x - h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (y - k) ^ 2 / a ^ 2 - (x - h) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Lees verder »

Verticale Hyperbola, middelpunt (0,0) Het is een verticale hyperbool, omdat 1) Er is een minus tussen 2 variabelen 2) Beide variabelen zijn vierkant 3) Vergelijking gelijk aan 1 4) als y positief is, x is negatief, verticale hyperbool zoals deze grafiek {(y ^ 2) / 9 - (x ^ 2) / 16 = 1 [-10, 10, -5, 5]} Lees verder »

Voor ellipsen, a> = b (wanneer a = b, we hebben een cirkel) vertegenwoordigt a de helft van de lengte van de hoofdas terwijl b de helft van de lengte van de secundaire as voorstelt. Dit betekent dat de eindpunten van de hoofdas van de ellips een eenheid (horizontaal of verticaal) zijn vanuit het midden (h, k) terwijl de eindpunten van de secundaire as van de ellips b-eenheden (verticaal of horizontaal) zijn) vanuit het midden. De foci van de ellips kunnen ook worden verkregen uit a en b. De brandpunten van een ellips zijn f-eenheden (langs de hoofdas) van het midden van de ellips waar f ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 Voorbeeld 1: Lees verder »

Het eindgedrag van een functie is het gedrag van de grafiek van de functie f (x) als x de positieve oneindigheid of negatieve oneindigheid nadert. Het eindgedrag van een functie is het gedrag van de grafiek van de functie f (x) als x de positieve oneindigheid of negatieve oneindigheid nadert. Dit wordt bepaald door de mate en de leidende coëfficiënt van een polynomiale functie. Bijvoorbeeld in het geval van y = f (x) = 1 / x, als x -> + - oo, f (x) -> 0. grafiek {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Maar als y = f (x) = (3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) als x-> + -oo, y-> 3 grafiek {(3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) Lees verder »

Een lineaire functie modelleert een rechte lijn met een constante helling of veranderingssnelheid. Er zijn verschillende vormen van lineaire vergelijkingen. Standaardformulier Ax + By = C waarbij A, B en C reële getallen zijn. Slope Onderscheppingsvorm y = mx + b waarbij m de helling is en b de y-snijpunt Point Slope Form (y-y_1) = m (x-x_1) waarbij (x_1, y_1) elk punt op de lijn is en m is de helling. Lees verder »

De reflectie van de exponentiële functie op de as y = x Logaritmen zijn het omgekeerde van een exponentiële functie, dus voor y = a ^ x zou de logfunctie y = log_ax zijn. Dus de logfunctie vertelt je aan welke kracht een moet worden verhoogd, om x te krijgen. Grafiek van lnx: grafiek {ln (x) [-10, 10, -5, 5]} Grafiek van e ^ x: grafiek {e ^ x [-10, 10, -5, 5]} Lees verder »

"Dat is niet mogelijk" "0 moet in het bereik zijn." "Aangezien 0 binnen het bereik ligt en 0 een rationaal getal is, kunnen we dit niet" hebben. " "Denk eraan: de functie moet de X-as passeren, anders zou de functie" "niet overal continu zijn." Lees verder »

Vec {a} quad "en" quad vec {b} quad "zijn orthogonaal precies wanneer:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad k = -10 / 3. # "Bedenk dat voor twee vectoren:" qquad vec {a}, vec {b} qquad "we hebben:" qquad vec {a} quad "en" quad vec {b} qquad quad " zijn orthogonaal " qquad qquad hArr qquad qquad vec {a} cdot vec {b} = 0." Dus: " qquad <-2, 3> quad" en " quad <-5, k> qquad quad "zijn orthogonaal" qquad qquad hArr qquad qquad <-2, 3> cdot <-5, k> = 0 qquad qquad hArr qquad qquad qquad (-2 ) (-5) + Lees verder »

A = b = c De generieke termen van een AP-reeks kunnen worden weergegeven door: sf ({a, a + d, a + 2d}) Er wordt ons verteld dat {a, b, c}, en we merken op dat als we een hogere termijn en aftrekken van de vorige term krijgen we het gemeenschappelijke verschil; dus c-b = b-a:. 2b = a + c ..... [A] De generieke termen van een GP-reeks kunnen worden weergegeven door: sf ({a, ar, ar ^ 2}) Er wordt ons verteld dat {a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2}, en we merken op dat als we een hogere termijn nemen en delen door de vorige term, we de gemeenschappelijke ratio krijgen, dus: c ^ 2 / b ^ 2 = b ^ 2 / a ^ 2 => c / b = b / a (als a, b, c gt Lees verder »

"Zie uitleg" z ^ 3 - 1 = 0 "is de vergelijking die de kubuswortels van" "eenheid oplevert. Dus we kunnen de theorie van polynomen toepassen" "concluderen dat" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(de identiteit van Newton )." "Als u het echt wilt berekenen en controleren:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "OF" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OF" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1-sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1 Lees verder »

K = 1/3 Gegeven f (x) = klog_2x en f ^ -1 (1) = 8 We weten dat, als f ^ -1 (x) = y dan f (y) = x. Dus in de tweede vergelijking betekent dit dat f (8) = 1 We hebben daar de eerste vergelijking, dus vervangen we x = 8 en f (x) = 1 om 1 te krijgen = klog_2 (8) Ik weet zeker dat je het weet wat te doen vanaf hier om het bovenstaande antwoord te krijgen. Hint: - log_xy ^ z = zlog_xy log_x (x) = 1 Lees verder »

Het antwoord is = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) We weten dat p ^ -1p = I I + p + p ^ 2 + p ^ 3 .... .p ^ n = O Vermenigvuldig beide zijden met p ^ -1 p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ..... p ^ n) = p ^ -1 * O p ^ - 1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + ...... p ^ -1 * p ^ n = O p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ......... (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p ^ -1 + (I) + (I * p) +. ........ (I * p ^ (n-1)) = O Daarom, p ^ -1 = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Lees verder »

5 Laat de vier vectoren k_1, k_2, k_3 en k_4 een basis vormen van de vectorruimte K. Omdat K een deelruimte van V is, vormen deze vier vectoren een lineair onafhankelijke reeks in V. Omdat L een deelruimte van V is die verschilt van K , er moet ten minste één element zijn, zeg I_1 in L, dat niet in K staat, dat wil zeggen, dat geen lineaire combinatie is van k_1, k_2, k_3 en k_4. Dus de set {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} is een lineaire onafhankelijke reeks vectoren in V. Dus de dimensionaliteit van V is minstens 5! In feite is het mogelijk dat de spanne van {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} de volledige vectorruimte V is - z Lees verder »

Scalars are multiplied in. 3A= -2C= To add the vectors, simply add each component separately. 3A+(-2C)= = Lees verder »

(-6,4,3) Voor toevoeging van vector voegt u eenvoudig afzonderlijke componenten toe. En vectoraftrekking wordt gedefinieerd als A-B = A + (- B), waarbij -B kan worden gedefinieerd als scalaire vermenigvuldiging van elke component met -1. Dus in dit geval dan -A + B-C = (- 1-2-3,0 + 5-1,3 + 1-1) = (- 6,4,3) Lees verder »

De determinant van is M + N = 69 en die van MXN = 200ko. Men moet ook de som en het product van de matrices definiëren. Maar hier wordt verondersteld dat ze net zo zijn gedefinieerd in handboeken voor 2xx2 matrix. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Vandaar dat de bepalende factor (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((- 1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = [(10, -12 ), (10,8)] Vandaar deeminatie van MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200 Lees verder »

Kwadratische functies hebben grafieken die parabolen worden genoemd. De eerste grafiek van y = x ^ 2 heeft beide "uiteinden" van de grafiek naar boven gericht. Je zou dit kunnen omschrijven als op weg naar het oneindige. De leadcoëfficiënt (vermenigvuldiger op x ^ 2) is een positief getal, waardoor de parabool omhoog gaat. Vergelijk dit gedrag met dat van de tweede grafiek, f (x) = -x ^ 2. Beide uiteinden van deze functie wijzen naar beneden naar negatief oneindig. De lead-coëfficiënt is deze keer negatief. Als je nu een kwadratische functie met een positieve hoofdcoëfficiënt ziet, k Lees verder »

-24883200 "Dit is de determinant van een matrix van Vandermonde." "Het is bekend dat de determinant dan een product is van de" "verschillen van de basisaantallen (die of genomen naar opeenvolgende" "bevoegdheden)." "Dus hier hebben we" (6!) (5!) (4!) (3!) (2!) "= 24.883.200" "Er is echter één verschil met de Vandermonde-matrix" "en dat is dat de laagste krachten normaal aan de linkerkant "" van de matrix zodat de kolommen gespiegeld zijn, geeft dit een extra "" minteken aan het resultaat: "" determinant = -24, Lees verder »

Je schrijft de zesde rij van de driehoek van Pascal en maakt de juiste vervangingen. > De driehoek van Pascal is De getallen op de vijfde rij zijn 1, 5, 10, 10, 5, 1. Dit zijn de coëfficiënten van de termen in een polynoom van de vijfde orde. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Maar ons polynoom is (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32 Lees verder »

Zoals hieronder uitgelegd In statistieken, wanneer twee variabelen worden vergeleken, betekent negatieve correlatie dat wanneer een variabele toeneemt, de andere afneemt of omgekeerd. Een perfecte negatieve correlatie wordt weergegeven door de waarde -1.00, terwijl een 0.00 geen correlatie aangeeft en een +1.00 een perfecte positieve correlatie. Een perfecte negatieve correlatie betekent dat de relatie die lijkt te bestaan tussen twee variabelen in 100% van de gevallen negatief is. Lees verder »

Voordat we onze hyperbool gaan interpreteren, willen we eerst deze in standaardvorm instellen. Dit betekent dat we willen dat het in y ^ 2 / a ^ 2 - x ^ 2 / b ^ 2 = 1 vorm is. Om dit te doen, beginnen we met het delen van beide zijden door 36, om 1 aan de linkerkant te krijgen. Als dat klaar is, zou je moeten hebben: y ^ 2/4 - x ^ 2/9 = 1 Als je dit hebt, kunnen we een paar observaties maken: er is geen h en k Het is een ... hyperbool (2 / a ^ 2) wat betekent dat het een verticale transversale as heeft Nu kunnen we een paar dingen beginnen te vinden Ik zal je door enkele dingen leiden die de meeste leraren je zullen vragen Lees verder »

Zie de onderstaande uitleg. De algemene vergelijking van een hyperbool is (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Hier is de vergelijking (x-1) ^ 2/2 ^ 2- (y + 2) ^ 2/3 ^ 2 = 1 a = 2 b = 3 c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 Het middelpunt is C = (h, k) = (1, -2) De hoekpunten zijn A = (h + a, k) = (3, -2) en A '= (ha, k) = (- 1, -2) De foci zijn F = (h + c, k) = (1 + sqrt13, -2) en F '= (hc, k) = (1-sqrt13, -2) De excentriciteit is e = c / a = sqrt13 / 2 grafiek {((x- 1) ^ 2 / 4- (y + 2) ^ 2 / 9-1) = 0 [-14.24, 14.25, -7.12, 7.12]} Lees verder »

Best veel! Hier hebben we de standaard hyperbolische vergelijking. (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Het middelpunt staat op (h, k) De half-transversale as is a De half-geconjugeerde as is b De hoekpunten van de grafiek zijn (h + a, k) en (ha, k) De foci van de grafiek zijn (h + a * e, k) en (ha * e, k) De richtingslijnen van de grafiek zijn x = h + a / e en x = h - a / e Hier is een afbeelding om te helpen. Lees verder »

Volgens de stelling van de factor: Als x = a voldoet aan de polynoom P (x), d.w.z. als x = a een wortel is van de polynoomvergelijking P (x) = 0 dan zal (x-a) een factor van polynoom P (x) zijn Lees verder »

Het betekent dat a als een continue functie (op een interval A) 2 onderscheiden waarden f (a) en f (b) (a, b in A natuurlijk) neemt, dan zal het alle waarden tussen f (a) en f (b). Om het beter te onthouden of te begrijpen, moet u weten dat het wiskundige vocabulaire veel afbeeldingen gebruikt. Je kunt je bijvoorbeeld een toenemende functie voorstellen! Het is hetzelfde hier, met tussenliggende kun je je iets voorstellen tussen 2 andere dingen als je begrijpt wat ik bedoel. Aarzel niet om vragen te stellen als het niet duidelijk is! Lees verder »

12.5, 15, 17.5 De reeks gebruikt een reeks waarin deze elke keer met 2,5 toeneemt. Voor een kort antwoord waarbij je alleen naar de volgende drie termen op zoek bent, kun je het gewoon optellen, of als je een antwoord moet vinden dat bijvoorbeeld 135 is in de reeks met behulp van de vergelijking: a_n = a_1 + (n- 1) d Zo zou het zijn: a_n = 2.5 + (135-1) 2.5 die gelijk is aan kleur (blauw) (337.5 Ik hoop dat dit helpt! Lees verder »

Dit is een lineaire vergelijking. Een lineaire vergelijking is de weergave van de rechte lijn. Deze specifieke vergelijking wordt de helling onderscheppingsvorm genoemd. De m in de formule is de helling. De b in de formule is waar de lijn de y-as kruist, dit wordt het y-snijpunt genoemd. Lees verder »

De kwadratische formule gebruikt de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking in standaardvorm wanneer deze gelijk is aan nul (y = 0). Een kwadratische vergelijking in standaardvorm ziet eruit als y = ax ^ 2 + bx + c. De kwadratische formule is x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a), wanneer y = 0. Hier is een voorbeeld van hoe de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking worden gebruikt als variabelen in de kwadratische formule : 0 = 2x ^ 2 + 5x + 3 Dit betekent a = 2, b = 5 en c = 3. Dus de kwadratische formule wordt: x = (-5 + - sqrt (5 ^ 2 - 4 (2) (3 ))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 4 Lees verder »

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) (ax) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) (ax) ^ rb ^ (nr) Dus we willen rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / (1 ! (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2! (11-2)!) (2x) ^ 2 ( -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 ( 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) (- 1) = - 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 D Lees verder »

Laten we het eerst op de moeilijke manier doen. U probeert de oplossing voor n te vinden! = 720 Dit betekent 1 * 2 * 3 * ... * n = 720 U kunt alle opeenvolgende nummers verdelen tot u uiteindelijk 1 krijgt als resultaat: 720 // 1 = 720, 720 // 2 = 360,360 // 3 = 120 etc. GC (TI-83): MATH - PRB -! En probeer een paar nummers. Antwoord: 6 Lees verder »

Zie hieronder. Volgens de factorstelling, als (x-4) een factor is, dan zal f (4) = 0 dus f (x) = x ^ 2-3x-4 f (4) = 4 ^ 2-3 (4) - 4 = 16-12-4 = 16-16 = 0 daarom (x-4) is een factor. Lees verder »

Het eindgedrag van kubieke functies, of een functie met een algemene oneven graad, gaat in tegengestelde richtingen. Kubieke functies zijn functies met een graad 3 (vandaar kubiek), wat vreemd is. Lineaire functies en functies met vreemde graden hebben tegenovergesteld eindgedrag. Het formaat om dit te schrijven is: x -> oo, f (x) -> oo x -> -oo, f (x) -> - oo Bijvoorbeeld, voor de afbeelding hieronder, als x naar oo gaat, de y-waarde neemt ook toe tot het oneindige. Als x echter -oo benadert, blijft de y-waarde afnemen; om het eindgedrag van links te testen, moet je de grafiek van rechts naar links bekijken !! Lees verder »

In het algemeen: voor een exponentiële functie waarvan de exponent de neiging heeft + - oo als x-> oo, neigt de functie respectievelijk naar oo of 0 als x-> oo. Merk op dat dit hetzelfde geldt voor x -> - oo Verder, als de exponent + -oo benadert, zullen kleine veranderingen in x (meestal) leiden tot drastische veranderingen in de waarde van de functie. Merk op dat gedragsveranderingen voor functies waarbij de basis van de exponentiële functie, d.w.z. de a in f (x) = a ^ x, zodanig is dat -1 <= a <= 1. Degenen met -1 <= a <0 gedragen zich vreemd (omdat de f (x) geen echte waarden opneemt, beh Lees verder »

TLDR: Lange versie: als de exponent van een machtsfunctie negatief is, heb je twee mogelijkheden: de exponent is zelfs de exponent is oneven De exponent is even: f (x) = x ^ (- n) waarbij n gelijk is. Alles wat met de negatieve kracht te maken heeft, betekent de wederkerigheid van de macht. Dit wordt f (x) = 1 / x ^ n. Laten we nu kijken naar wat er met deze functie gebeurt, wanneer x negatief is (links van de y-as) De noemer wordt positief, omdat je een negatief getal met zichzelf vermenigvuldigt in een even tijd. De kleinerex is (meer naar links), hoe hoger de noemer zal worden. Hoe hoger de noemer wordt, hoe kleiner het Lees verder »

Er worden aanvullende vragen gesteld over de grafieken en de vergelijkingen, maar om een goede schets van de grafiek te krijgen: u moet weten of de assen zijn geroteerd. (Je hebt trigonometrie nodig om de grafiek te krijgen als die is geweest.) Je moet het type of de soort kegelsnedes identificeren. U moet de vergelijking in standaardvorm voor dit type plaatsen. (Nou, je hebt dit niet "nodig" om iets als y = x ^ 2-x te tekenen, als je genoegen neemt met een schets gebaseerd op het feit dat het een naar boven openende parabool met x-onderschept 0 en 1 is) Afhankelijk van de soort kegelsnede, je hebt andere inform Lees verder »

Als de vergelijking van de hyperbolas bekend is, dat wil zeggen: (x-x_c) ^ 2 / a ^ 2- (y-y_c) ^ 2 / b ^ 2 = + - 1, kunnen we de hyperbogen op deze manier in een grafiek weergeven: zoek het centrum C (x_c, y_c); maak een rechthoek met het midden in C en met zijden 2a en 2b; teken de lijnen die doorlopen vanaf de tegenovergestelde hoekpunten van de rechthoek (de asymptoten); als het teken van 1 + is, dan zijn de twee takken links en rechts van de rechthoek en de hoekpunten in het midden van de verticale zijden, als het teken van 1 is -, dan zijn de twee takken op en neer van de rechthoekig en de hoekpunten liggen in het midd Lees verder »

(7 + 6i) / (10 + i) = 76/101 + 53 / 101i We kunnen de noemer reëel maken door de noemer te vermenigvuldigen met zijn complexe conjugaat, dus: (7 + 6i) / (10 + i) = (7 + 6i) / (10 + i) * (10-i) / (10-i) "" = ((7 + 6i) (10-i)) / ((10 + i) (10-i)) " "= (70-7i + 60i-6i ^ 2) / (100 -10i + 10i-i ^ 2)" "= (70 + 53i +6) / (100 +1)" "= (76 + 53i) / (101) "" = 76/101 + 53 / 101i Lees verder »

Zie hieronder Cardioïde curve is iets als een hartvormig figuur (zo is het woord 'cardio' gekomen). Het is de plaats van een punt op de omtrek van een cirkel dat op een andere cirkel beweegt zonder te glijden. Wiskundig wordt het gegeven door de polaire vergelijking r = a (1-costheta), soms ook geschreven als r = 2a (1-costheta), Het verschijnt zoals hieronder getoond. Lees verder »

Er zijn verschillende definities van continue functie, dus ik geef je verschillende ... Zeer grof gezegd, een continue functie is er een waarvan de grafiek kan worden getekend zonder je pen van het papier te tillen. Het heeft geen discontinuïteiten (sprongen). Veel formeler: als A sube RR dan is f (x): A-> RR is continu iff AA x in A, delta in RR, delta> 0, EE epsilon in RR, epsilon> 0: AA x_1 in (x - epsilon , x + epsilon) nn A, f (x_1) in (f (x) - delta, f (x) + delta) Dat is nogal een mondvol, maar betekent in feite dat f (x) niet plotseling in waarde springt.Hier is nog een definitie: als A en B sets zijn Lees verder »

Het is een reeks getallen die op een regelmatige, lineaire manier naar beneden vallen. Een voorbeeld is 10,9,8,7, ... dat gaat 1 per stap of stap omlaag = -1. Maar 1000, 950, 900, 850 ... zou ook één zijn, omdat dit elke stap 50, of stap = -50, naar beneden gaat. Deze stappen worden het 'gemeenschappelijke verschil' genoemd. Regel: een rekenkundige reeks heeft een constant verschil tussen twee stappen. Dit kan positief zijn, of (in uw geval) negatief. Lees verder »

Een discontinue functie is een functie met ten minste één punt waar deze niet continu is. Dat is lim_ (x-> a) f (x) bestaat niet of is niet gelijk aan f (a). Een voorbeeld van een functie met een eenvoudige, verwijderbare discontinuïteit is: z (x) = {(1, if x = 0), (0, if x! = 0):} Een voorbeeld van een pathologisch niet-continue functie van RR naar RR zou zijn: r (x) = {(1, "if x is rationeel"), (0, "if x is irrational"):} Dit is discontinu op elk punt. Beschouw de functie q (x) = {(1, "if x = 0"), (1 / q, "if x = p / q voor gehele getallen p, q in laagste termen") Lees verder »

Een limiet aan de linkerkant betekent de limiet van een functie wanneer deze vanaf de linkerkant komt. Aan de andere kant betekent een rechterlimiet de limiet van een functie als deze de rechterkant nadert. Wanneer u de limiet van een functie krijgt wanneer deze een getal nadert, is het de bedoeling om het gedrag van de functie te controleren wanneer deze het nummer nadert. We vervangen waarden zo dicht mogelijk bij het nummer dat wordt benaderd. Het dichtstbijzijnde getal is het nummer dat zelf wordt benaderd. Daarom vervangt men meestal gewoon het nummer dat wordt benaderd om de limiet te krijgen. We kunnen dit echter ni Lees verder »

Als we een limiet van onderen hebben, is dat hetzelfde als een limiet van links (meer negatief). We kunnen dit als volgt schrijven: lim_ (x-> 0 ^ -) f (x) in plaats van de traditionele lim_ (x -> 0) f (x) Dit betekent dat we alleen maar overwegen wat er gebeurt als we beginnen met een nummer lager dan onze grenswaarde en benader het vanuit die richting. Dit is over het algemeen interessanter met een Piecewise-functie. Stel je een functie voor die is gedefinieerd als y = x voor x <0 en y = x + 1 voor x> 0. We kunnen ons voorstellen dat er bij dat punt 0 een kleine sprong is. Het zou er als volgt uit moeten zien: Lees verder »

De logaritme basis b van een getal n is het getal x dat wanneer b wordt verhoogd tot x-macht, de resulterende waarde n log_b n = x <=> b ^ x = n Voorbeeld: log_2 8 = x => 2 ^ x = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 log_5 1 = x => 5 ^ x = 1 => 5 ^ x = 5 ^ 0 => x = 0 Lees verder »

Een logistieke functie is een vorm van sigmoïde functies die typisch wordt gevonden in het modelleren van de bevolkingsgroei (zie hieronder). Dit is de grafiek van een typische logistieke functie: de grafiek begint bij een of andere basispopulatie en groeit bijna exponentieel totdat hij de bevolkingslimiet die wordt opgelegd door zijn omgeving begint te naderen. Merk op dat logistieke modellen ook worden gebruikt in een verscheidenheid van andere gebieden (bijvoorbeeld neurale netwerkanalyse, enz.) Maar de applicatie van het groeimodel is waarschijnlijk het gemakkelijkst om te visualiseren. Lees verder »

Een rekenkundige reeks is een reeks (lijst met getallen) die een gemeenschappelijk verschil (een positieve of negatieve constante) tussen de opeenvolgende termen heeft. Hier zijn enkele voorbeelden van rekenkundige sequenties: 1.) 7, 14, 21, 28 omdat het gemeenschappelijk verschil 7. 2.) 48, 45, 42, 39 is omdat het een gemeenschappelijk verschil heeft van - 3. De volgende zijn geen voorbeelden van rekenkundige sequenties: 1.) 2,4,8,16 is niet omdat het verschil tussen eerste en tweede term 2 is, maar het verschil tussen tweede en derde term is 4 en het verschil tussen derde en vierde term is 8. Geen verschil, dus het is ge Lees verder »