Wat zijn de waarden van r (met r> 0) waarvoor de reeks convergeert?

Antwoord:

#R <1 / e # is de voorwaarde voor de convergentie van #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Uitleg:

Ik zal alleen het deel over de convergentie beantwoorden, het eerste deel is in de opmerkingen beantwoord. We kunnen gebruiken # R ^ ln (n) = n ^ ln (r) # om de som te herschrijven #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # in de vorm

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {voor} p = -ln (r) #

De serie rechts is de serievorm voor de beroemde Riemann Zeta-functie. Het is bekend dat deze serie convergeert wanneer #p> 1 #. Het gebruik van dit resultaat geeft direct

# -ln (r)> 1 houdt in ln (r) <- 1 houdt in r <e ^ -1 = 1 / e #

Het resultaat over de Riemann Zeta-functies is zeer bekend, als je een ab initio antwoord, kunt u de integrale test voor convergentie proberen.