Hoe los je de veelterm ongelijkheid op en geef je het antwoord op in de interval notatie gegeven x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Antwoord:

De ongelijkheid is kwadratisch van vorm.

Uitleg:

Stap 1: We hebben nul nodig aan één kant.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Stap 2: Aangezien de linkerkant bestaat uit een constante term, een middelste term en een term waarvan de exponent exact het dubbele is van die op de middelste termijn, is deze vergelijking kwadratisch "in vorm". We gebruiken het als een kwadratische factor, of we gebruiken de kwadratische formule. In dit geval kunnen we factor zijn.

Net als # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, we hebben nu

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Wij behandelen # X ^ 3 # alsof het een eenvoudige variabele was, y.

Als het meer nuttig is, kunt u dit vervangen #y = x ^ 3 #, los dan op voor y en vervang tenslotte terug in x.

Stap 3: Stel elke factor gelijk aan nul afzonderlijk in, en los de vergelijking op # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. We vinden waar de linkerkant gelijk is aan nul omdat deze waarden de grenzen van onze ongelijkheid zullen zijn.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

Dit zijn de twee echte wortels van de vergelijking.

Ze scheiden de echte regel in drie intervallen:

# (- oo, -root (3) 3); (-root (3) 3, wortel (3) 2); en (root (3) 2, oo) #.

Stap 4: Bepaal het teken van de linkerkant van de ongelijkheid op elk van de bovenstaande intervallen.

Het gebruik van testpunten is de gebruikelijke methode. Selecteer een waarde uit elk interval en vervang deze door x aan de linkerkant van de ongelijkheid. We kunnen -2, dan 0, en vervolgens 2 kiezen.

Je zult ontdekken dat de linker kant is

positief op # (- oo, -root (3) 3) #;

negatief op # (- root (3) 3, root (3) 2) #;

en positief op # (root (3) 2, oo) #.

Stap 5: Voltooi het probleem.

We willen weten waar # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

We weten nu waar de linkerkant gelijk is aan 0, en we weten waar het positief is. Schrijf deze informatie in intervalvorm op als:

# (- oo, -root (3) 3 uu root (3) 2, oo) #.

OPMERKING: we hebben de haakjes omdat de twee zijden van de ongelijkheid op die punten gelijk zijn en het oorspronkelijke probleem vereist dat we omvatten die waarden. Had het probleem gebruikt #># in plaats van # Ge #, we zouden haakjes hebben gebruikt.