Hoe vind je de binomiale expansie voor (2x + 3) ^ 3?

Antwoord:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Uitleg:

Met de driehoek van de Pascal is het gemakkelijk om elke binomiale uitbreiding te vinden:

Elke term, van deze driehoek, is het resultaat van de som van twee termen op de bovenste regel. (bijvoorbeeld in rood)

#1#

#1. 1#

#color (blauw) (1. 2. 1) #

# 1. kleur (rood) 3. kleur (rood) 3. 1 #

# 1. 4. kleur (rood) 6. 4. 1 #

…

Meer, elke regel heeft de informatie van één binomiale uitbreiding:

De 1e regel, voor de kracht #0#

De 2e, voor de kracht #1#

De derde, voor de kracht #2#…

Bijvoorbeeld: # (A + b) ^ 2 # we zullen de derde regel in blauw gebruiken na deze uitbreiding:

# (a + b) ^ 2 = kleur (blauw) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + kleur (blauw) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + kleur (blauw) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Dan: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Tot de macht #3#:

# (a + b) ^ 3 = kleur (groen) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + kleur (groen) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + kleur (groen) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + kleur (groen) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Dan # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Dus hier hebben we #color (rood) (a = 2x) # en #color (blauw) (b = 3) #:

En # (2x + 3) ^ 3 = kleur (rood) ((2x)) ^ 3 + 3 * kleur (rood) ((2x)) ^ 2 * kleur (blauw) 3 + 3 * kleur (rood) ((2x)) * kleur (blauw) 3 ^ 2 + kleur (blauw) 3 ^ 3 #

Daarom: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Antwoord:

# (2x + 3) = 8x ^ 3 ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Uitleg:

# (2x + 3) ^ 3 #

Gebruik de kubus van een sum-methode, waarin # (A + b) ^ 3 ^ 3 = a + 2b + 3a ^ 3ab 2 ^ + b ^ 3 #.

# A = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2 x ^ 2 * 3) + (3 * 2 x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2 x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2 x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #