Wat is de absolute extrema van de functie: 2x / (x ^ 2 +1) bij gesloten interval [-2,2]?

De absolute extrema van een functie in een gesloten interval # A, b # kan zijn of lokale extrema in dat interval, of de punten waarvan ascissae zijn #a of b #.

Dus laten we de lokale extrema vinden:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#Y '> = 0 #

als

# -X ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Dus onze functie neemt af #-2,-1)# en in #(1,2# en het groeit in #(-1,1)#, en dus het punt #A (-1-1) # is een lokaal minimum en het punt #B (1,1) # is een lokaal maximum.

Laten we nu de ordinaat van de punten op de extrema van het interval vinden:

#Y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4/5) #

#Y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Dus de kandidaten zijn:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4/5) #

#D (2,4 / 5) #

en het is gemakkelijk te begrijpen dat de absolute extremen dat zijn #EEN# en # B #, zoals je kunt zien:

grafiek {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}