Hoe de som hiervan berekenen? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Aangezien #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

maar # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # en

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # dan

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Antwoord:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # wanneer # | X | <1 #

Uitleg:

We beginnen met het schrijven van enkele van de coëfficiënten:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Het eerste waar we naar willen kijken, zijn de coëfficiënten (de graad van #X# kan vrij eenvoudig worden aangepast door de reeks te vermenigvuldigen en te delen #X#, dus ze zijn niet zo belangrijk). We zien dat ze allemaal een veelvoud van twee zijn, dus we kunnen een factor twee naar voren halen:

# = 2 (x ^ 2-3 x ^ 3 + 6 x ^ 4-10x ^ 5 …) #

De coëfficiënten binnen deze haakjes kunnen worden herkend als de binomiale reeks met een macht van # A = -3 #:

# (1 + x) ^ a = 1 + Alphax + (a (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (a (alfa-1) (a-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

We merken dat de exponenten van alle termen tussen haakjes twee groter zijn in vergelijking met de reeks die we zojuist hebben afgeleid, dus we moeten vermenigvuldigen # X ^ 2 # om de juiste serie te krijgen:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - ^ 3 = 2 x 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Dit betekent dat onze serie (wanneer deze convergeert) gelijk is aan:

# (2 x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Om te verifiëren dat we geen fout hebben gemaakt, kunnen we snel de Binomial Series gebruiken om een reeks voor te berekenen # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2 x 2 ^ (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2 x 2 ^ (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2 x 2 ^ (1-3x + (4 * 3) / 2 x ^ 2- (5 * 4) / 2 x ^ 3 …) = #

We kunnen dit patroon als volgt beschrijven:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Omdat de eerste term rechtvaardig is #0#, we kunnen schrijven:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

wat de serie is waarmee we zijn begonnen, ons resultaat verifiëren.

Nu moeten we gewoon het convergentie-interval achterhalen, om te zien wanneer de serie daadwerkelijk een waarde heeft. We kunnen dit doen door te kijken naar de convergentieomstandigheden voor de binomiale reeks en te ontdekken dat de reeks convergeert wanneer # | X | <1 #