Hoe int x ^ lnx te integreren?

Antwoord:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Uitleg:

We beginnen met een u-vervanging met # U = ln (x) #. We delen dan door de afgeleide van # U # integreren met betrekking tot # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Nu moeten we oplossen voor #X# aangaande met # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Je zou kunnen raden dat dit geen elementaire anti-afgeleide heeft, en je hebt gelijk. We kunnen het formulier echter gebruiken voor de denkbeeldige foutfunctie, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Om onze integraal in deze vorm te krijgen, hebben we misschien maar één gekwadrateerde variabele in de exponent van # E #, dus we moeten het vierkant invullen:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Nu kunnen we een u-vervanging introduceren met # T = u + 1/2 #. Het derivaat is rechtvaardig #1#, dus we hoeven niets speciaals te doen om te integreren met betrekking tot # T #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 04/01) SQRTPI / 2 * erfi (t) + C #

Nu kunnen we alle vervangingen ongedaan maken om:

#E ^ (- 04/01) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 04/01) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #