Wat is f '(- pi / 3) wanneer je f (x) = sin ^ 7 (x) krijgt?

Het is # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

Methode

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

Het is erg handig om dit als volgt te herschrijven #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # omdat dit het duidelijk maakt dat wat we hebben een is # 7 ^ (th) # Power functie.

Gebruik de power-regel en de kettingregel (deze combinatie wordt vaak de gegeneraliseerde machtsregel genoemd.)

Voor #f (x) = (g (x)) ^ n #, de afgeleide is #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, In een andere notatie # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

In beide gevallen, voor uw vraag #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Je zou kunnen schrijven #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

Op # x = - pi / 3 #, wij hebben

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "laten" y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "let" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Nu, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {Bent u het eens?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

maar onthoud #u = sin (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Je hebt de eer om te vereenvoudigen

NOTITIE:

{

me afvragend waarom ik dit allemaal "laat dingen" doen?

de reden is dat er meer dan één functie in zit #f (x) #

** er is: # Sin ^ 7 (x) # en er is #sin (x) #!!

dus om het te vinden #f '(x) # ik moet het vinden # F '# van # Sin ^ 7 (x) #

En de # F '# van #sin (x) #

daarom moet ik het laten # y = f (x) #

dan laat #u = sin (x) #

}