Wat is Infinity? + Voorbeeld

Antwoord:

Dit kan niet zonder context worden beantwoord. Hier zijn enkele van de toepassingen in de wiskunde.

Uitleg:

Een set heeft oneindige kardinaliteit als deze één-op-één kan worden toegewezen aan een juiste subset van zichzelf. Dit is niet het gebruik van oneindig in calculus.

In Calculus gebruiken we "oneindig" op drie manieren.

Interval notatie:

De symbolen # Oo # (respectievelijk # -Oo #) worden gebruikt om aan te geven dat een interval geen recht (respectievelijk links) eindpunt heeft.

Het interval # (2, oo) # is hetzelfde als de set #X#

Oneindige limieten

Als een limiet niet bestaat omdat as #X# benaderingen #een#, de waarden van #f (x) # toenemen zonder gebonden te zijn, dan schrijven we #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Merk op dat: de zin "zonder grenzen" significant is. De nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # nemen toe, maar worden hierboven begrensd. (Ze komen nooit of passeren #1#.)

Limieten bij Infinity

De uitdrukking "de limiet in het oneindige" wordt gebruikt om aan te geven dat we hebben gevraagd wat er gebeurt #f (x) # zoals #X# stijgt zonder grenzen.

Voorbeelden hiervan zijn

De limiet als #X# verhoogt zonder grenzen # X ^ 2 # bestaat niet omdat, als #X# stijgt zonder grenzen, # X ^ 2 # neemt ook zonder grenzen toe.

Dit is geschreven #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # en we lezen het vaak

"De limiet als #X# gaat naar oneindig, van # X ^ 2 # is oneindig"

De grens #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # geeft aan dat, zoals #X# stijgt zonder grenzen, # 1 / x # benaderingen #0#.

Antwoord:

Het hangt af van de context …

Uitleg:

#bb + - # Infinity en limieten

Overweeg de set van reële getallen # RR #, vaak afgebeeld als een lijn met negatieve getallen aan de linkerkant en positieve getallen aan de rechterkant. We kunnen twee genoemde punten toevoegen # + Oo # en # -Oo # die niet helemaal als nummers werken, maar de volgende eigenschap hebben:

#AA x in RR, -oo <x <+ oo #

Dan kunnen we schrijven #lim_ (x -> + oo) # om de limiet te betekenen als #X# wordt meer en meer positief zonder bovengrens en #lim_ (x -> - oo) # om de limiet te betekenen als #X# wordt meer en meer negatief zonder ondergrens.

We kunnen ook uitdrukkingen schrijven als:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… wat betekent dat de waarde van # 1 / x # stijgt of daalt zonder gebonden als #X# benaderingen #0# van 'rechts' of 'links'.

Dus in deze contexten # + - oo # zijn echt stenografisch om voorwaarden of resultaten van beperkende processen uit te drukken.

Oneindigheid als een voltooiing van # RR # of # CC #

De projectieve lijn # RR_oo # en Riemann-bol # CC_oo # worden gevormd door het toevoegen van een enkel punt # Oo # naar # RR # of # CC # - het "punt in het oneindige".

We kunnen dan de definitie van functies zoals uitbreiden #f (z) = (az + b) / (cz + d) # om continu en goed gedefinieerd te zijn over het geheel genomen # RR_oo # of # CC_oo #. Deze Möbius-transformaties werken bijzonder goed op # C_oo #, waar ze cirkels in cirkels plaatsen.

Oneindigheid in de verzamelingenleer

De grootte (kardinaliteit) van de verzameling gehele getallen is oneindig, ook wel telbare oneindigheid genoemd. Georg Cantor ontdekte dat het aantal reële getallen strikt groter is dan deze telbare oneindigheid. In de verzamelingenleer bestaat er een hele reeks oneindigheden van toenemende omvang.

Oneindigheid als een getal

Kunnen we de oneindigheden eigenlijk als getallen behandelen? Ja, maar de dingen werken niet zoals je altijd verwacht. We kunnen het bijvoorbeeld graag zeggen # 1 / oo = 0 # en # 1/0 = oo #, maar wat is de waarde van # 0 * oo? #

Er zijn getallensystemen met oneindigheden en oneindig kleine waarden (oneindig kleine getallen). Deze bieden een intuïtief beeld van de resultaten van limietprocessen zoals differentiatie en kunnen rigoureus worden behandeld, maar er zijn nogal wat valkuilen om te vermijden.