Wat is de booglengte van r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) op tin [1, ln2]?

Antwoord:

Boog lengte #~~ 2.42533 # (5DP)

De booglengte is negatief vanwege de ondergrens #1# groter zijn dan de bovengrens van # LN2 #

Uitleg:

We hebben een parametrische vectorfunctie, gegeven door:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Om de booglengte te berekenen, hebben we het vectorderivaat nodig, dat we kunnen berekenen met behulp van de productregel:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Vervolgens berekenen we de grootte van de afgeleide vector:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Dan kunnen we de booglengte berekenen met behulp van:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Het is onwaarschijnlijk dat we deze integraal kunnen berekenen met behulp van de analytische techniek, dus in plaats daarvan gebruiken we Numerieke methoden om een schatting te krijgen:

# L ~~ -2.42533 # (5DP)

De booglengte is negatief vanwege de ondergrens #1# groter zijn dan de bovengrens van # LN2 #