Hoe vind je het volume van de regio omsloten door de curven y = x ^ 2 - 1 en y = 0 geroteerd rond de lijn x = 5?

Antwoord:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY pi = (85 + 1/3) #

Uitleg:

Om dit volume te berekenen gaan we in zekere zin het snijden in (oneindig dunne) plakjes.

We stellen ons de regio voor, om ons hierbij te helpen, heb ik de grafiek ingesloten waar de regio het deel onder de curve is. We noteren dat # Y = x ^ 2-1 # overschrijdt de lijn # X = 5 # waar # Y = 24 # en dat het de grens overschrijdt # Y = 0 # waar # X = 1 # grafiek {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Bij het snijden van dit gebied in horizontale plakken met hoogte # Dy # (een zeer kleine hoogte). De lengte van deze segmenten is sterk afhankelijk van de y-coördinaat. om deze lengte te berekenen, moeten we de afstand tot een punt weten # (Y, x) # op de lijn # Y = x ^ 2-1 # tot het punt (5, y). Natuurlijk is dit # 5-x #, maar we willen weten hoe het ervan afhangt # Y #. Sinds # Y = x ^ 2-1 #, wij weten # X ^ 2 = y + 1 #, sinds we hebben #x> 0 # voor de regio waarin we geïnteresseerd zijn, # X = sqrt (y + 1) #, daarom is deze afstand afhankelijk van # Y #, wat we zullen aanduiden als #R (y) # is gegeven door #R (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Nu draaien we deze regio rond # X = 5 #, dit betekent dat elke plak een cilinder wordt met hoogte # Dy # en straal #R (y) #, dus een volume #pir (y) ^ 2DY #. Het enige wat we nu moeten doen is deze oneindig kleine volumes optellen met behulp van integratie. We noteren dat # Y # gaat van #0# naar #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26Y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.