Hoe gebruik je de integrale test om convergentie of divergentie van de reeks te bepalen: som n e ^ -n van n = 1 tot oneindig?

Antwoord:

Neem de integraal # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, wat eindig is, en merk op dat het begrenst #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Daarom is het convergent, dus #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # is ook goed.

Uitleg:

De formele verklaring van de integrale test stelt dat als #fin 0, oo) rightarrowRR # een monotoon afnemende functie die niet-negatief is. Dan is de som #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # is convergent als en alleen als # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ NF (x) dx # is eindig. (Tau, Terence, analyse I, tweede druk, boekagentschap van Hindustan, 2009).

Deze uitspraak lijkt misschien een beetje technisch, maar het idee is het volgende. In dit geval de functie #f (x) = xe ^ (- x) #, dat merken we voor #x> 1 #, deze functie neemt af. We kunnen dit zien door het derivaat te nemen. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, sinds #x> 1 #, dus # (1-x) <0 # en #E ^ (- x)> 0 #.

Daarom merken we dat voor iedereen #ninNN _ (> = 2) # en #x in 1, oo) # zoals dat #x <= n # wij hebben #f (x)> = f (n) #. daarom #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, dus #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 Nf ^ (x) dx #.

# Int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ooxe ^ ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ooxde ^ ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo ^ + int_1 ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # gebruik van integratie door delen en dat #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Sinds #f (x)> = 0 #, wij hebben # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 Nf ^ (x) dx #, dus #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Sinds #f (n)> = 0 #, de series #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # stijgt als # N # toeneemt. Omdat het wordt begrensd door # 3 / e #, het moet convergeren. daarom #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # convergeert.

De eerste en tweede termen van een geometrische reeks zijn respectievelijk de eerste en derde termen van een lineaire reeks. De vierde term van de lineaire reeks is 10 en de som van de eerste vijf term is 60 Vind de eerste vijf termen van de lineaire reeks?

{16, 14, 12, 10, 8} Een typische geometrische reeks kan worden weergegeven als c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k en een typische rekenkundige rij als c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Calling c_0 a als het eerste element voor de geometrische reeks die we hebben {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Eerste en tweede van GS zijn de eerste en derde van een LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "De vierde term van de lineaire reeks is 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "De som van de eerste vijf term is 60"):} Oplossen voor c_0, a, Delta we verkrijgen c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2 en

Hoe convergentie of divergentie van sequentie te bepalen an = ln (n ^ 2) / n?

De sequentie convergeert Om te bepalen of de sequentie a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n convergeert, zien we wat a_n als n-> oo is. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Gebruik de regel van l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Aangezien lim_ (n-> oo) a_n een eindige waarde is, convergeert de reeks.

Hoe vind ik de convergentie of divergentie van deze serie? som van 1 tot oneindig van 1 / n ^ ln

Het convergeert Denk aan de reeks sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, waarbij p> 1. Door de p-test komt deze reeks samen. Nu, 1 / n ^ In n <1 / n ^ p voor alle groot genoeg n, zolang p een eindige waarde is. Dus, door de directe vergelijkingstest, komt sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n samen. In feite is de waarde ongeveer gelijk aan 2.2381813.