Wat is de afgeleide van f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Methode 1:

We zullen beginnen met het gebruik van de change-of-base regel om te herschrijven #f (x) # equivalent als:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

We weten dat # d / dx ln x = 1 / x #.

(als deze identiteit niet bekend is, kijk dan naar enkele van de video's op deze pagina voor verdere uitleg)

Dus, we zullen de kettingregel toepassen:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

De afgeleide van #ln x / 6 # zal zijn # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Vereenvoudigen geeft ons:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Methode 2:

Het eerste ding om op te merken is dat enkel en alleen # d / dx ln (x) = 1 / x # waar #ln = log_e #. Met andere woorden, alleen als de basis is # E #.

We moeten daarom het # Log_6 # naar een expressie met alleen #log_e = ln #. Dit doen we met behulp van het feit

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # wanneer # N = e #

Nu, laat #z = (ln x / ln 6) # zodat #f (x) = z ^ 2 #

daarom # f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #