Hoe dit berekenen? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Voorbeeld

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Helaas zal de functie binnen de integraal niet integreren met iets dat niet kan worden uitgedrukt in termen van elementaire functies. U zult hiervoor numerieke methoden moeten gebruiken.

Ik kan je laten zien hoe je een reeksuitbreiding gebruikt om een geschatte waarde.

Begin met de geometrische reeks:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ r ^ 3 + 4 = … sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # voor # Rlt1 #

Nu integreren met respect voor # R # en het gebruik van de limieten #0# en #X# om dit te krijgen:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integratie van de linkerkant:

# Int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Integreer nu de rechterkant door term op term te integreren:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 x ^ + 4/4 + … #

Dus het volgt dat:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Verdeel je nu door #X#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2 / 3- ^ x 3/4 -… #

Dus we hebben nu uitdrukking van de vermogensreeks voor de functie waarmee we oorspronkelijk zijn begonnen. Eindelijk kunnen we opnieuw integreren om:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2 / 3- ^ x 3/4 -… dx #

Het integreren van de juiste term per termijn geeft ons:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 09/03-x ^ 16/04 -… _ ^ 1 0 #

Het evalueren van de limieten tot vier termen geeft ons een geschatte waarde:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 16/04} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Dit is slechts voor vier termen. Als u een meer nauwkeurig cijfer wilt, gebruikt u eenvoudig meer termen in de reeks. Ga bijvoorbeeld naar de 100e term:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) /x

Even terzijde, als je exact hetzelfde proces doorloopt maar sommatie notatie gebruikt (d.w.z. met grote sigma in plaats van de voorwaarden van de serie weg te schrijven) zul je merken dat:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ OO1 / n ^ 2 #

wat gewoon de Riemann-Zeta-functie van 2 is, dat wil zeggen:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ OO1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

We weten eigenlijk al de waarde hiervan: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Vandaar dat de exacte waarde van de integraal kan worden afgeleid om:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / xdx = pi ^ 2/6 #