Wat is de afgeleide van f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Werkwijze:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Eerst zullen we de vergelijking herschrijven in een vorm die gemakkelijker is om mee te werken.

Neem de cosecant van beide kanten:

2.) #csc y = x #

Herschrijven in termen van sine:

3.) # 1 / siny = x #

Oplossen voor # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Het nemen van het derivaat zou nu eenvoudiger moeten zijn. Het is nu gewoon een kwestie van kettingregel.

We weten dat # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (er is een bewijs van deze identiteit hier te vinden)

Neem dus de afgeleide van de externe functie en vermenigvuldig deze met de afgeleide van # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

De afgeleide van # 1 / x # is hetzelfde als de afgeleide van #X ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Vereenvoudigen 8. geeft ons:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Om de verklaring een beetje mooier te maken, kunnen we het kwadraat van # X ^ 2 # binnen de radicaal, hoewel dit niet nodig is:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Vereenvoudigde opbrengsten:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

En daar is ons antwoord. Onthoud dat derivatenproblemen met inverse trig-functies meestal een oefening zijn in uw kennis van trig-identiteiten. Gebruik ze om de functie op te splitsen in een vorm die gemakkelijk te onderscheiden is.