Wat is de afgeleide van i? + Voorbeeld

Je kunt behandelen #ik# zoals een constante zoals # C #. Dus de afgeleide van #ik# zou zijn #0#.

Bij het omgaan met complexe getallen moeten we echter voorzichtig zijn met wat we kunnen zeggen over functies, afgeleiden en integralen.

Neem een functie #f (z) #, waar # Z # is een complex getal (dat wil zeggen, # F # heeft een complex domein). Vervolgens de afgeleide van # F # is op dezelfde manier gedefinieerd als het echte geval:

# f ^ prime (z) = lim_ (h tot 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #

waar # H # is nu een complex getal. Aangezien complexe getallen beschouwd kunnen worden als liggend in een vlak, het complexe vlak genoemd, hebben we het resultaat van deze limiet afhankelijk van hoe we ervoor kozen om # H # ga naar #0# (dat wil zeggen, met welk pad we ervoor kozen).

In het geval van een constante # C #, het is gemakkelijk om te zien dat het een afgeleide is #0# (het bewijs is analoog aan het echte geval).

Neem als voorbeeld # F # zijn #f (z) = bar (z) #, dat is, # F # neemt een complex getal # Z # in zijn geconjugeerde #bar (z) #.

Vervolgens is de afgeleide van # F # is

# f ^ prime (z) = lim_ (h tot 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h tot 0) (bar (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h tot 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h tot 0) (bar (h)) / (h) #

Overweeg om te maken # H # ga naar #0# alleen echte cijfers gebruiken. Omdat de complexe geconjugeerde van een reëel getal zichzelf is, hebben we:

# f ^ prime (z) = lim_ (h tot 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h tot 0) h / h = = lim_ (h tot 0) 1 = 1 #

Nu, maak # H # ga naar #0# alleen zuivere imaginaire getallen gebruiken (nummers van het formulier # Ai #). Sinds het conjugaat van een puur denkbeeldig nummer # W # is # -W #, wij hebben:

# f ^ prime (z) = lim_ (h tot 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h tot 0) -h / h = = lim_ (h tot 0) -1 = -1 #

En daarom #f (z) = bar (z) # heeft geen afgeleide.