Hoe vind je de formule van MacLaurin voor f (x) = sinhx en gebruik je deze om f (1/2) binnen 0,01 te benaderen?

Antwoord:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Uitleg:

We kennen de definitie voor #sinh (x) #:

#sinh (x) = (x-e ^ e ^ -x) / 2 #

Omdat we de Maclaurin-serie kennen voor # E ^ x #, we kunnen het gebruiken om er een voor te bouwen #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ Oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

We kunnen de serie vinden voor # E ^ -x # door te vervangen #X# met #-X#:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

We kunnen deze twee van elkaar aftrekken om de teller van de te vinden # Sinh # definitie:

#color (wit) (-. ^ e-x) e ^ x = kleur (wit) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#color (wit) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = kleur (wit) (lllllllll) 2xcolor (wit) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Kleur (wit) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

We kunnen zien dat alle even voorwaarden annuleren en alle oneven termen verdubbelen. We kunnen dit patroon als volgt voorstellen:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Om het te voltooien #sinh (x) # series, we hoeven dit alleen maar te delen door #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Nu willen we berekenen #f (1 / 2) # met een nauwkeurigheid van tenminste #0.01#. We kennen deze algemene vorm van de Lagrange-fout gebonden voor een n-de graad taylor polynoom over # X = c #:

# | R_n (x) | <| M / (! (N + 1)) (x-c) ^ (n + 1) | # waar # M # is een bovengrens van de n-de afgeleide op het interval van # C # naar #X#.

In ons geval is de uitbreiding een Maclaurin-serie, dus # C = 0 # en # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <| M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

De hogere orde afgeleiden van #sinh (x) # zal dat ook zijn #sinh (x) # of #cosh (x) #. Als we de definities voor hen beschouwen, zien we dat #cosh (x) # zal altijd groter zijn dan #sinh (x) #, dus we moeten de # M #naar #cosh (x) #

De hyperbolische cosinusfunctie neemt altijd toe, dus de grootste waarde van het interval is bereikt #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 02/01)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Nu pluggen we dit in de Lagrange-foutgrens:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

Wij willen # | R_n (x) | # kleiner zijn dan #0.01#, dus we proberen wat # N # waarden totdat we zover zijn (hoe minder termen in de polynoom, hoe beter). Dat vinden we # N = 3 # is de eerste waarde die ons een fout geeft die kleiner is dan #0.01#, dus we moeten een taylor-polynoom van de 3e graad gebruiken.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #