Wat is de vergelijking van de lijn die normaal is voor de polaire kromme f (theta) = - 5theta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) bij theta = pi?

Antwoord:

De lijn is #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Uitleg:

Deze kolos van een vergelijking is afgeleid door een ietwat langdurig proces. Ik zal eerst de stappen schetsen waarmee de afleiding zal doorgaan en vervolgens die stappen uitvoeren.

We krijgen een functie in poolcoördinaten, #f (theta) #. We kunnen de afgeleide nemen, #f '(theta) #, maar om daadwerkelijk een lijn in cartesiaanse coördinaten te vinden, zullen we nodig hebben # Dy / dx #.

We kunnen vinden # Dy / dx # door de volgende vergelijking te gebruiken:

# dy / dx = (f '(theta) zonde (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Dan stoppen we die helling in het standaard cartesiaanse lijnformulier:

#y = mx + b #

En voeg de cartesiaanse geconverteerde polaire coördinaten van ons aandachtspunt in:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Een paar dingen die meteen duidelijk moeten zijn en ons tijd in de rij zullen besparen. We nemen een lijn die het punt raakt #theta = pi #. Dit betekent dat #sin (theta) = 0 # zo…

1) Onze vergelijking voor # Dy / dx # zal feitelijk zijn:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Onze vergelijkingen voor de cartesiaanse coördinaten van ons punt zullen worden:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Begonnen om het probleem daadwerkelijk op te lossen, is onze eerste opdracht dus gevonden #f '(theta) #. Het is niet moeilijk, slechts drie eenvoudige derivaten met een kettingregel toegepast op twee:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sec ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Nu willen we het weten #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

En #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sec ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Met deze in de hand zijn we klaar om onze helling te bepalen:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

We kunnen dit als aansluiten # M # in #y = mx + b #. Bedenk dat we dat eerder bepaalden # Y = 0 # en #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

We kunnen onze eerder bepaalde combineren # M # met onze nieuw besloten # B # om de vergelijking voor de regel te geven:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #