Wat is het gebied van een driehoek waarvan de hoekpunten de punten zijn met coördinaten (3,2) (5,10) en (8,4)?

Antwoord:

Raadpleeg de uitleg

Uitleg:

1e oplossing

We kunnen de Heron-formule gebruiken, waarin staat

Het gebied van een driehoek met zijden a, b, c is gelijk aan

# S = sqrt (B (B-a) (B-b) (B-C)) # waar # S = (a + b + c) / 2 #

Geen gebruik van de formule om de afstand tussen twee punten te vinden

#A (x_A, y_A), B (x_B, y_B) #welke is

# (AB) = sqrt ((x_A-x_B) ^ 2 + (ÿ_à-y_B) ^ 2 #

we kunnen de lengte van de zijden berekenen tussen de drie gegeven punten

laten we zeggen #A (3,2) # #B (5,10) #, #C (8,4) #

Daarna vervangen we de formule van Heron.

2e oplossing

We weten dat als # (x_1, y_1), (x_2, y_2) # en # (X_3, y_3) # zijn de hoekpunten van de driehoek, dan wordt het gebied van de driehoek gegeven door:

Gebied van de driehoek# = (1/2) | {(x2-x1) (y2 + y1) + (x3-x2) (y3 + y1) + (x1-x3) (y1 + y2)} | #

Daarom is het gebied van de driehoek waarvan de hoekpunten zijn #(3,2), (5,10), (8,4)# is gegeven door:

Gebied van de driehoek# = (1/2) | {(5-3) (10 + 2) + (8-5) (4 + 2) + (3-8) (2 + 10)} | = abs (1/2 (24 + 18-60)) = 9 #

Antwoord:

#18#

Uitleg:

Methode 1: Geometrisch

#triangle ABC = PQRS - (triangleAPB + triangleBQC + ACRS) #

#PQRS = 5xx10 = 50 #

#triangle APB = 1/2 (8xx2) = 8 #

#triangle BQC = 1/2 (3xx6) = 9 #

#ACRS = (2 + 4) / 2xx5 = 15 #

#triangle ABC = 50 - (8 + 9 + 15) = 50 -32 = 18 #

Methode 2: Formule van reigers

Met behulp van de stelling van Pythagoras kunnen we de lengte van de zijden van berekenen #triangle ABC #

dan kunnen we Heron's Formula gebruiken voor het gebied van een driehoek gezien de lengtes van zijn zijden.

Vanwege het aantal berekeningen (en de noodzaak om vierkantswortels te evalueren), deed ik dit in een spreadsheet:

Wederom (gelukkig) kreeg ik een antwoord van #18# voor het gebied