Wat is de minimumwaarde van g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? op het interval [-2,2]?

Antwoord:

Minimale waarde is om # x = 1-sqrt 5 approx "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #.

Uitleg:

Op een gesloten interval zijn de mogelijke locaties voor een minimum:

• een lokaal minimum binnen het interval, of
• de eindpunten van het interval.

Daarom berekenen en vergelijken we waarden voor #G (x) # op enige #x in "-2", 2 # dat maakt #G '(x) = 0 #, evenals bij #X = "- 2" # en # X = 2 #.

Ten eerste: wat is #G '(x) #? Met behulp van de quotiëntregel krijgen we:

#G '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2 x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (wit) (G (x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (wit) (G (x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Dit is gelijk aan nul als de teller nul is. Door de kwadratische formule krijgen we

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 approx {"-1.236", 3.236} #

Slechts een van deze #X#-waarden zijn binnen #'-2',2#, en dat is # x = 1-sqrt 5 #.

Nu berekenen we:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (wit) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * kleur (blauw) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (wit) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (wit) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0.125 #

Vergelijk deze drie waarden van #G (x) #, we zien dat #g (1-sqrt 5) # is de kleinste. Zo # - (1+ sqrt 5) / 8 # is onze minimumwaarde voor #G (x) # op #'-'2, 2#.