X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 heeft één wortel x = sqrt (2) + sqrt (3). Wat zijn de andere drie wortels en waarom?

Antwoord:

De andere drie wortels zijn #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # en #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Wat het waarom betreft, laat me je een verhaal vertellen …

Uitleg:

Mr Rational woont in de stad Algebra.

Hij kent alle cijfers van het formulier # M / n # waar # M # en # N # zijn gehele getallen en #n! = 0 #.

Hij is best tevreden met het oplossen van polynomen zoals # 3x + 8 = 0 # en # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, maar er zijn er veel die hem puzzelen.

Zelfs een schijnbaar eenvoudige polynoom zoals # X ^ 2-2 = 0 # lijkt onoplosbaar.

Zijn rijke buurman, Mr. Real, heeft medelijden met hem. "Wat je nodig hebt is wat een vierkantswortel wordt genoemd #2#. Hier ga je. "Met deze woorden overhandigt meneer Real een mysterieus glanzend blauw nummer genaamd # R_2 # aan Mr Rational. Alles wat hem over dit nummer wordt verteld, is dat # R_2 ^ 2 = 2 #.

Mr Rational gaat terug naar zijn studie en speelt een spel met dit mysterieuze # R_2 #.

Na een tijdje vindt hij dat hij getallen van de vorm kan optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen # a + b R_2 # waar #een# en # B # zijn rationeel en eindigen met getallen van dezelfde vorm. Hij merkt dat ook op # X ^ 2-2 = 0 # heeft een andere oplossing, namelijk # -R_2 #.

Hij kan nu niet alleen oplossen # X ^ 2-2 = 0 #, maar # X ^ 2 + 2x-1 = 0 # en vele anderen.

Veel andere veeltermen ontwijken nog steeds de oplossing. Bijvoorbeeld, # X ^ 2-3 = 0 #, maar Mr Real is blij om hem een glanzend groen nummer te geven # R_3 # dat lost die op.

Rational vindt al snel dat hij alle nummers die hij kan maken, kan uitdrukken # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, waar #een#, # B #, # C # en # D # zijn rationeel.

Op een dag probeert de heer Rational het probleem op te lossen # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Hij vindt dat # X = R_2 + R_3 # is een oplossing.

Voordat hij op zoek gaat naar meer oplossingen, botst hij tegen zijn buurman, Mr Real. Hij bedankt de heer Real voor het geschenk van # R_2 # en # R_3 #, maar heeft een vraag over hen. "Ik vergat te vragen:", zegt hij, "Zijn ze positief of negatief?". "Ik dacht niet dat het je zou schelen.", Zei Mr Real. "Zolang je polynomen oplost met rationele coëfficiënten, maakt het niet echt uit, de regels die je hebt gevonden om je nieuwe nummers toe te voegen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen, werken net zo goed met een van beide. riep # R_2 # is wat de meeste mensen noemen # -Sqrt (2) # en degene die je hebt gebeld # R_3 # is wat de meeste mensen noemen #sqrt (3) #'.

Dus voor Mr Rational's nieuwe nummers van de vorm # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # het maakt niet uit of # R_2 # en / of # R_3 # zijn positief of negatief vanuit het oogpunt van het oplossen van polynomen met rationale coëfficiënten.