Wat is de minimumwaarde van g (x) = x / csc (pi * x) in het interval [0,1]?

Antwoord:

Er is een minimumwaarde van #0# allebei gelegen op # X = 0 # en # X = 1 #.

Uitleg:

Ten eerste kunnen we deze functie onmiddellijk als schrijven

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = x sin (pix) #

Herinner dat #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Bepaal nu, om minimumwaarden op een interval te vinden, dat ze kunnen optreden aan de eindpunten van het interval of aan eventuele kritieke waarden die binnen het interval optreden.

Om de kritieke waarden binnen het interval te vinden, stelt u de afgeleide van de functie gelijk aan in #0#.

En om de functie te differentiëren, zullen we de functie moeten gebruiken productregel. Toepassing van de productregel geeft ons

#G '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Elk van deze derivaten geeft:

# D / dx (x) = 1 #

En via de kettingregel:

# D / dx (sin (ix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (ix)) _ (= pi) = pico (pix) #

Door deze te combineren, zien we dat

#G '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Kritieke waarden zullen dus altijd optreden

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

We kunnen dit niet algebraïsch oplossen, dus gebruik een rekenmachine om alle nullen van deze functie op het gegeven interval te vinden #0,1#:

grafiek {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

De twee kritieke waarden binnen het interval zijn om # X = 0 # en # Xapprox0.6485 #.

Dus we weten dat de minimumwaarde van #G (x) # zou kunnen optreden bij #3# verschillende plaatsen:

• # X = 0 # of # X = 1 #, de eindpunten van het interval
• # X = 0 # of # X = 0,6485 #, de kritieke waarden binnen het interval

Steek nu elk van deze mogelijke waarden in het interval:

# {(G (0) = 0, kleur (rood) tekst (minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, kleur (blauw) tekst (maximum)), (g (1) = 0, kleur (rood) tekst (minimum)):} #

Omdat er twee waarden zijn die even laag zijn, zijn er minima zowel bij # X = 0 # en # X = 1 #. Merk op dat we er wel doorheen zijn gegaan om de problemen te vinden # X = 0,6485 #, het was niet eens een minimum.

Grafiek is #G (x) # op het interval #0,1#:

grafiek {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Merk ook op dat de minimumwaarde is #0#, sinds #G (0) = g (1) = 0 #. Het onderscheid is dat # X = 0 # en # X = 1 # zijn de locaties van de minima.