V.1 Als alfa, bèta de wortels zijn van de vergelijking x ^ 2-2x + 3 = 0 verkrijgt u de vergelijking waarvan de wortels alfa ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 en beta ^ 3-beta ^ 2 + zijn beta + 5?

# Q.1 # Als #Alpha Beta# zijn de wortels van de vergelijking # X ^ 2-2x + 3 = 0 # verkrijg de vergelijking waarvan de wortels zijn # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # en # P ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #?

Antwoord

gegeven vergelijking # X ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Laat # alpha = 1 + sqrt2i en bèta = 1-sqrt2i #

Nu laat

# gamma = alfa ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 #

# => gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 3 alpha -1 + 2alpha-1 #

# => Y = (a-1) ^ 3 + alfa-1 + a #

# => Y = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Y = -2sqrt2i sqrt2i + + 1 + 1 = sqrt2i #

En laat

# Delta = p ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #

# => = Delta p ^ 2 (p-1) + P + 5 #

# => Delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Dus de kwadratische vergelijking heeft wortels #gamma en delta # is

# X ^ 2- (y + delta) x + gammadelta = 0 #

# => X ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # Als één wortel van de vergelijking # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # wees het vierkant van de ander, Bewijs dat # B ^ 3 ^ a + 2c + ac ^ 2 = 3ABC #

Laat een wortel zijn # Alpha # dan zal andere wortel zijn # Alpha ^ 2 #

Zo # Alpha ^ 2 + a = b / a #

# A ^ 3 = c / a #

# => A ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (A-1) (a ^ 2 + a + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (A-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (A-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #

# => (A-1) = (c-a) / (a-b) #

# => A = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #

Nu #alpha # een van de wortels van de kwadratische vergelijking zijn # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # we kunnen schrijven

# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => A ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => A (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => Ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + ABC-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => B ^ 3 ^ a + 2c + ac ^ 2 = 3ABC #

bewees

Alternatief

# Aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => Aalpha + b + c / a = 0 #

# => A (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3 + (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) XXC ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3ABC #