Wat is het bereik van de functie f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Antwoord:

Het bereik is #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Uitleg:

Merk op dat de noemer op elk moment ongedefinieerd is

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, dat is, wanneer

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

of

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, waar #n in ZZ # (# N # is een geheel getal).

Zoals #X# benaderingen #x_ (1, n) # van onder, #f (x) # benaderingen # - infty #, terwijl als #X# benaderingen #x_ (1, n) # van toen #f (x) # benaderingen # + Infty #. Dit komt door verdeling door "bijna #-0# of #+0#'.

Voor #x_ (2, n) # de situatie is omgekeerd. Zoals #X# benaderingen #x_ (2, n) # van onder, #f (x) # benaderingen # + Infty #, terwijl als #X# benaderingen #x_ (2, n) # van toen #f (x) # benaderingen # -Infty #.

We krijgen een reeks intervallen waarin #f (x) # is continu, zoals te zien is in de plot. Beschouw eerst de "kommen" (aan de uiteinden waar de functie naar toe blaast # + Infty #). Als we de lokale minima in deze intervallen kunnen vinden, dan weten we dat #f (x) # gaat uit van alle waarden tussen deze waarde en # + Infty #. We kunnen hetzelfde doen voor "omgekeerde schalen" of "caps".

We merken op dat de kleinste positieve waarde wordt verkregen wanneer de noemer in #f (x) # is zo groot mogelijk, dat is wanneer #sin (x) = 1 #. Dus we concluderen dat de kleinste positieve waarde van #f (x) # is #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

De grootste negatieve waarde wordt eveneens gevonden #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Vanwege de continuïteit van #f (x) # in de intervallen tussen discontinuïteiten en de tussenliggende waardetelling, kunnen we concluderen dat het bereik van #f (x) # is

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

De harde haakjes betekenen dat het aantal is opgenomen in het interval (bijv. #-1/2#), terwijl zachte haakjes betekent dat het nummer niet is opgenomen.

grafiek {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}