Wat is de formule om het gebied van een gewone dodecagon te vinden?

Antwoord:

#S _ ("gewone dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "side" ^ 2 ~ = 11.196152 * "side" ^ 2 #

Uitleg:

Als we denken aan een gewoon dodecagon ingeschreven in een cirkel, kunnen we zien dat het wordt gevormd door 12 gelijkbenige driehoeken waarvan de zijkanten de straal van de cirkel, de straal van de cirkel en de zijde van de dodecagon zijn; in elk van deze driehoeken is de hoek tegenover de zijde van de dodecagon gelijk aan #360^@/12=30^@#; het gebied van elk van deze driehoeken is # ("Kant" * "hoogte) / 2 #, we hoeven alleen de hoogte loodrecht op de zijde van de dodecagon te bepalen om het probleem op te lossen.

In de genoemde gelijkbenige driehoek, waarvan de basis de zijde van de dodecagon is en wiens gelijke zijden de stralen van de cirkel zijn, waarvan de hoek tegenover de basis ligt (# Alpha #) is gelijk aan #30^@#er is alleen een lijn getrokken uit de vertex waarin de radii van de cirkel samenkomen (punt C) die loodrecht de zijde van de dodecagon onderschept: deze lijn doorsnijdt de hoek # Alpha # evenals de hoogte van de driehoek tussen het punt C en het punt waarop de basis wordt onderschept (punt M), en verdeelt de basis in twee gelijke delen (allemaal omdat de twee kleinere driehoeken die zo zijn gevormd congruenten zijn).

Aangezien de twee genoemde kleinere driehoeken de juiste zijn, kunnen we de hoogte van de gelijkbenige driehoek op deze manier bepalen:

#tan (alpha / 2) = "tegenovergestelde cathetus" / "aangrenzende cathetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("side" / 2) / "height" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Dan hebben we

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (driehoek) = 12 * (("side") ("height")) / 2 = 6 * ("side") ("side") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("zijkant") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #