Hoe vind ik de integraal int (ln (x)) ^ 2dx?

Ons doel is om de kracht van te verminderen #ln x # zodat de integraal gemakkelijker te evalueren is.

We kunnen dit bereiken door integratie door delen te gebruiken. Houd rekening met de IBP-formule:

#int u dv = uv - int v du #

Nu zullen we het laten #u = (lnx) ^ 2 #, en #dv = dx #.

daarom

#du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Nu, samen de stukken samenvoegend, krijgen we:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Deze nieuwe integraal ziet er veel beter uit! Een beetje vereenvoudigen en de constante naar voren brengen, levert op:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Nu, om van deze volgende integraal af te komen, zullen we een tweede integratie door delen, verhuren doen #u = ln x # en #dv = dx #.

Dus, #du = 1 / x dx # en #v = x #.

Assembleren geeft ons:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Nu hoeft u alleen nog maar te vereenvoudigen, rekening houdend met de constante van integratie:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

En daar hebben we het. Denk eraan, integratie door delen heeft alles te maken met kiezen # U # zodat rommelige dingen worden geëlimineerd uit de integrand. In dit geval hebben we gebracht # (ln x) ^ 2 # naar beneden #ln x #en dan naar beneden # 1 / x #. Op het einde, wat #X#is geannuleerd en het werd gemakkelijker om te integreren.

Hoe vind ik de integraal int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Deze integraal vereist integratie door onderdelen. Houd rekening met de formule: int u dv = uv - int v du We laten u = x en dv = e ^ (- x) dx. Daarom is du = dx. Het vinden van v vereist een u-vervanging; Ik gebruik de letter q in plaats van u, omdat we u al gebruiken in de formule voor integratie volgens delen. v = int e ^ (- x) dx laat q = -x. dus, dq = -dx We zullen de integraal herschrijven, en twee negatieven toevoegen om dq: v = -int -e ^ (- x) dx op te nemen. Geschreven in termen van q: v = -int e ^ (q) dq Daarom, v = -e ^ (q) Vervanging t

Hoe vind ik de integraal int (x * ln (x)) dx?

We zullen integratie door delen gebruiken. Denk aan de formule van de IBP, die int u dv = uv - int v du Let u = ln x, en dv = x dx is. We hebben deze waarden gekozen omdat we weten dat de afgeleide van ln x gelijk is aan 1 / x, wat betekent dat we in plaats van iets complexs (een natuurlijke logaritme) te integreren, uiteindelijk iets heel gemakkelijk gaan integreren. (een veelterm) Dus, du = 1 / x dx, en v = x ^ 2 / 2. Aansluiten in de IBP-formule geeft ons: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx An x annuleert uit van de nieuwe integrand: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx De oplossing is nu

Hoe vind je de onbepaalde integraal van int root3x / (root3x-1)?

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C We hebben int root3x / (root3x-1) dx Vervang u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Resubstitute u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (abs (root3x-1)) + C